Question

【题目】如图，已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，P是线段AD上的一动点，连接PC，过点P作PE⊥PC交AB于点E．以CE为直径作⊙O，当点P从点A移动到点D时，对应点O也随之运动，则点O运动的路程长度为_____．

Answer 1

【答案】．

【解析】

连接AC，取AC的中点K，连接OK．设AP＝x，AE＝y，求出AE的最大值，求出OK的最大值，由题意点O的运动路径的长为2OK，由此即可解决问题．

解：连接AC，取AC的中点K，连接OK．设AP＝x，AE＝y，

∵PE⊥CP

∴∠APE+∠CPD＝90°，且∠AEP+∠APE＝90°

∴∠AEP＝∠CPD，且∠EAP＝∠CDP＝90°

∵△APE∽△DCP

∴，

即x（3﹣x）＝2y，

∴y＝x（3﹣x）＝﹣x2+x＝﹣GXdjs4436236（x﹣）2+，

∴当x＝时，y的最大值为，

∴AE的最大值＝，

∵AK＝KC，EO＝OC，

∴OK＝AE＝，

∴OK的最大值为，

由题意点O的运动路径的长为2OK＝，

故答案为：．