Question

20．如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠DAB=60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上的一个动点（不与点A重合），延长ME交CD的延长线于点N，连接MD，AN．
（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；
（2）当AM的值为2时，四边形AMDN是矩形，请你把猜想出的AM值作为已知条件，说明四边形AMDN是矩形的理由．

Answer 1

分析 （1）根据菱形的性质可得AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等可得∠NDE=∠MAE，根据对顶角相等可得∠DEN=∠AEM，根据中点的定义求出DE=AE，然后利用“角边角”证明△NDE和△MAE全等，根据全等三角形对应边相等得到ND=AM，然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明；
（2）首先证明△AEM是等边三角形，进而得到AE=ED=EM，利用三角形一边上的中线等于斜边一半判断出△AMD是直角三角形，进而得出四边形AMDN是矩形．

解答 解：（1）∵点E是AD边的中点，
∴AE=ED，
∵AB∥CD，
∴∠NDE=∠MAE，
在△NDE和△MAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠NDE=∠MAE}\\{DE=AE}\\{∠NED=∠MEA}\end{array}\right.$，
∴△NDE≌△MAE（ASA），
∴ND=AM，
∵ND∥AM，
∴四边形AMDN是平行四边形；

（2）当AM=2时，说明四边形是矩形．
∵E是AD的中点，
∴AE=2，
∵AE=AM，∠EAM=60°，
∴△AME是等边三角形，
∴AE=EM，
∴AE=ED=EM，
∴∠AMD=90°，
∵四边形ABCD是菱形，
故当AM=2时，四边形AMDN是矩形．

点评 本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，熟记各性质并求出三角形全等是解题的关键，也是本题的突破口．