Question

如图，用长为40cm的细铁丝围成一个矩形ABCD（AB＞AD）．

（1）若这个矩形的面积等于99cm²，求AB的长度；
（2）这个矩形的面积可能等于101cm²吗？若能，求出AB的长度，若不能，说明理由；
（3）若这个矩形为黄金矩形（AD与AB之比等于黄金比

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），求该矩形的面积．（结果保留根号）

Answer 1

考点：黄金分割,一元二次方程的应用

专题：计算题

分析：（1）设AB=xcm，则AD=（20-x）cm，根据矩形面积公式得到x（20-x）=99，再解方程得x₁=9，x₂=11，由于AB＞AD，则可得到AB的长为11cm；
（2）与（1）一样得到方程x（20-x）=101，整理得x²-20x+101=0，计算判别式的值，根据判别式的意义得到方程没有实数解，于是可判断这个矩形的面积可能等于101cm²；
（3）设AB=xcm，则AD=（20-x）cm，根据黄金分割的定义得20-x=

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2

x，解得x=10（

5

-1），再计算出20-x=10（3-

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），然后计算矩形的面积．

解答：解：（1）设AB=xcm，则AD=（20-x）cm，
根据题意得x（20-x）=99，
整理得x²-20x+99=0，解得x₁=9，x₂=11，
当x=9时，20-x=11；当x=11时，20-11=9，
而AB＞AD，
所以x=11，即AB的长为11cm；
（2）不能．理由如下：
设AB=xcm，则AD=（20-x）cm，
根据题意得x（20-x）=101，
整理得x²-20x+101=0，
因为△=202-4×101=-4＜0，
所以方程没有实数解，
所以这个矩形的面积可能等于101cm²；
（3）设AB=xcm，则AD=（20-x）cm，
根据题意得20-x=

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x，
解得x=10（

5

-1），
则20-x=10（3-

5

），
所以矩形的面积=10（

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-1）•10（3-

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）=（400

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-800）cm²．

点评：本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=

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AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．也考查了一元二次方程的应用．