Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，AE＝CG，AH＝CF，且EG平分∠HEF．

(1)求证：△AEH≌△CGF．

(2)若∠EFG＝90°．求证：四边形EFGH是正方形．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【解析】

(1)根据全等三角形的判定定理SAS证得结论；

(2)先证明四边形EFGH是平行四边形，再证明有一组邻边相等，然后结合∠EFG＝90°，即可证得该平行四边形是正方形．

证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠A＝∠C．

在△AEH与△CGF中，

，

∴△AEH≌△CGF(SAS)；

(2)∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝BC，AB＝CD，∠B＝∠D．

∵AE＝CG，AH＝CF，

∴EB＝DG，HD＝BF．

∴△BEF≌△DGH(SAS)，

∴EF＝HG．

又∵△AEH≌△CGF，

∴EH＝GF．

∴四边形HEFG为平行四边形．

∴EH∥FG，

∴∠HEG＝∠FGE．

∵EG平分∠HEF，

∴∠HEG＝∠FEG，

∴∠FGE＝∠FEG，

∴EF＝GF，

又∵∠EFG＝90°，

∴平行四边形EFGH是正方形．

∴四边形EFGH是菱形．