Question

【题目】如图，抛物线y＝ax2+5x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线y＝x﹣4经过点B，C．P是直线BC上方抛物线上一动点，直线PC交x轴于D．

(1)直接写出a，c的值；

(2)当△PBD的面积等于△BDC面积的一半时，求点P的坐标；

(3)当∠PBA＝∠CBP时，直接写出直线BP的解析式．

Answer 1

【答案】(1)a的值为﹣1，c的值为﹣4；(2)点P的坐标为(，﹣2)、(2，2)或(3，2)；(3)y＝﹣x+4或y＝x+﹣2．

【解析】

(1)利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点B，C的坐标，根据点B，C的坐标，利用待定系数法即可求出a，c的值；

(2)利用三角形的面积公式结合S△PBD＝S△BDC可得出点P的纵坐标为±2，再利用二次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；

(3)设直线BP的解析式为y＝mx+n(m≠0)，延长BP交y轴于点E，分点P在x轴上方及点P在x轴下方两种情况考虑：①当点P在x轴上方时，利用等腰三角形的性质可得出点E的坐标，由点B，E的坐标，利用待定系数法可求出直线BP的解析式；②当点P在x轴下方时，过点E作EM⊥BC于点M，利用角与角之间的关系可得出∠CBE＝30°，设OE＝t，通过解直角三角形可求出BM，CM的值，结合BM+CM＝BC＝4可得出关于t的方程，解之即可得出点E的坐标，由点B，E的坐标，利用待定系数法可求出直线BP的解析式．综上，此题得解．

解：(1)当x＝0时，y＝x﹣4＝﹣4，

∴点C的坐标为(0，﹣4)；

当y＝0时，x﹣4＝0，

解得：x＝4，

∴点B的坐标为(4，0)．

将B(4，0)，C(0，﹣4)代入y＝ax2+5x+c，得：

，解得：，

∴a的值为﹣1，c的值为﹣4．

(2)∵△PBC和△BCD有相同的底边BD，S△PBD＝S△BDC，

∴|yP|＝﹣yC＝2．

当y＝﹣2时，﹣x2+5x﹣4＝﹣2，

解得：x1＝，x2＝(舍去)，

∴点P的坐标为(，﹣2)；

当y＝2时，﹣x2+5x﹣4＝2，

解得：x1＝2，x2＝3，

∴点P的坐标为(2，2)或(3，2)．

综上所述：点P的坐标为(，﹣2)、(2，2)或(3，2)．

(3)设直线BP的解析式为y＝mx+n(m≠0)，延长BP交y轴于点E，分两种情况考虑：

①当点P在x轴上方时，如图1所述．

∵∠PBA＝∠CBP，

∴∠EBO＝∠CBO，

∴点E的坐标为(0，4)．

将B(4，0)，E(0，4)代入y＝mx+n，得：

，解得：，

∴直线BP的解析式为y＝﹣x+4；

②当点P在x轴下方时，过点E作EM⊥BC于点M，如图2所述．

∵OB＝OC＝4，

∴∠OBC＝∠OCB＝45°，BC＝4．

∵∠PBA＝∠CBP，

∴∠CBP＝∠OBC＝30°，即∠CBE＝30°．

设OE＝t，则BE＝＝．

在Rt△BEM中，BM＝BEcos30°＝，EM＝BEsin30°＝．

在Rt△CEM中，CM＝＝

∵BM+CM＝BC，即+＝4，

∴t＝2﹣，

∴点E的坐标为(0，﹣2)．

∴直线BP的解析式为y＝x+﹣2．

综上所述：直线BP的解析式为y＝﹣x+4或y＝x+﹣2．