Question

已知：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0），顶点C（1，﹣4），与x轴交于A、B两点，与y轴交于点N（0，﹣3）．

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）如图，以AB为直径作⊙M，与抛物线交于点D，与抛物线的对称轴交于点E，依次连接A、D、B、E，点Q为线段AB上一个动点（Q与A、B两点不重合），过点Q作QF⊥AE于F，QG⊥DB于G，请判断是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由；

（3）请求出抛物线与（2）中⊙M的所有交点坐标．

Answer 1

       解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）²﹣4，

将N（0，﹣3）代入解析式得：﹣3=a（0﹣1）²﹣4，

∴a=1，

∵抛物线的解析式为y=（x﹣1）²﹣4，即y=x²﹣2x﹣3；

（2）是定值：=1，

理由：∵AB是直径，

∴∠AEB=90°，

∵QF⊥AE，

∴QF∥BE，

∴△AQF∽△ABE，

∴=，

同理：=，

∴====1；

（3）如图所示，过点D作DN⊥AB，垂足为N．

令y=0得：x²﹣2x﹣3=0，解得：x₁=3，x₂=﹣1，

∴点A的坐标为（﹣1，0）、点B的坐标为（3，0）．

设点D的坐标为（m，m²﹣2m﹣3），

∵AB是直径，

∴∠ADB=90°．

∴∠ADN+∠NDB=90°．

∵∠NDB+∠DBN=90°，

∴∠ADN=∠DBN．

又∵∠AND=∠BND=90°，

∴△ADN∽△DBN．

∴，即：

解得：m₁=﹣1（舍去），m₂=3（舍去），，．

当m=1﹣时，m²﹣2m﹣3==1，

当m=1+时，m²﹣2m﹣3==1．

∴点D的坐标为（1﹣，﹣1），点D′的坐标为（1+，﹣1）．

综上所述，抛物线与圆的交点坐标分别为A（﹣1，0）、B（3，0）、D（1﹣，﹣1）、D′（1+，﹣1）．