Question

5．某商店以一定的价格购进某种干果若干千克，对其进行筛选分成甲级干果与乙级干果后同时开始销售．这批干果销售结束后，店主从销售统计中发出：甲级干果与乙级干果在销售过程中每天都有销量，于不同时间销售完；甲级干果从开始销售至销售的第x天的总销量y₁（千克）与x的关系为y₁=-x²+40x；乙级干果从开始销售至销售的第x天的总销量y₂（千克）与x的关系为是二次函数，且乙级干果的前三天的销售量的情况见表：

x	1	2	3
y2	58	112	162

（1）求乙级干果滴x天的总销量y₂（千克）与x的函数关系式（不需要写自变量的取值范围）；
（2）求：当一种干果销售完多长时间后，另一种干果才销售完？
（3）销售第几天时，两种干果的总销量相差最大？

Answer 1

分析 （1）根据题意列方程组即可得到结果；
（2）根据题意解方程即可得到结论；
（3）设两种干果的总销量的差为z，根据题意得到z=-2x²+60x-（-x²+40x）=-x²+20x，然后求二次函数的最大值即可．

解答 解：（1）设y₂=ax²+bx+c，
把（1，58）（2，112）（3，162）代入上式得$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=58}\\{4a+2b+c=112}\\{9a+3b+c=162}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=60}\\{c=0}\end{array}\right.$．
故乙级干果第x天的总销量y₂（千克）与x的函数关系式为：y₂=-2x²+60x；
（2）甲级干果y=-x²+40x=-（x-20）²+400，当x=20时，甲级干果卖完，
乙级干果y=-2x²+60x=-2（x-15）²+450，当x=15时，乙级干果卖完，
∴当一种干果销售完5天后，另一种干果才销售完；
（3）设两种干果的总销量的差为z，
则z=-2x²+60x-（-x²+40x）=-x²+20x=-（x-10）²+100，
∴当x=10时，z_最大=100，
∴销售第10天时，两种干果的总销量相差最大．

点评 本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数的解析式，关键是根据表格代入数列出三元一次方程组求出a和b，c，确定函数式，然后根据等量关系和列方程求解．