Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（2，0），抛物线的对称轴x=-1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形BOCF的面积最大，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）抛物线的解析式为y=-x2-x+4；（2）存在,F（-2，4）； （3）点P的坐标（-3，1）．

【解析】试题分析: （1）根据函数值相等的两点关于对称轴对称，可得B点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；

（2）根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得m的值，再根据自变量与函数值的对应关系，可得F点坐标；

（3）根据平行四边形的对边相等，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．

试题解析:

（1）由A、B关于对称轴对称，A点坐标为（2，0），得 B（-4，0）．

将A、B、C点的坐标代入函数解析式，得，

解得 ，

抛物线的解析式为y=-x2-x+4；

（2）如图1，

，

设BC的解析式为y=kx+b，

将B、C点坐标代入函数解析式，得，

解得，

BC的解析式为y=x+4．

G在BC上，D在抛物线上，得

G（m，m+4），F（m，-m2-m+4）．

DG=-m2-m+4-（m+4）=-m2-2m．

S四边形BOCF=S△BOC+S△BCF=BOOC+FGBO

=×4×4+×4（-m2-2m）

=8+2[-（m+2）2+2]

当m=-2时，四边形BOCF的面积最大是12，

当m=-2时，-m2-m+4=4，即F（-2，4）；

（3）如图2

，

当x=-1时，y=-x2-x+4=，即D（-1， ）

y=x+4=3，即E（-1，3）．

DE=-3=．

P在直线BC上，Q在抛物线上，得

P（m，m+4），Q（m，-m2-m+4）．

PQ=-m2-m+4-（m+4）=-m2-2m．

由以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，得

DE=PQ，即-m2-2m=，

解得m=-1（不符合题意，舍），m=-3．

当m=-3时，y=m+4=1，

即P（-3，1）．

以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标（-3，1）．

点睛: 本题考查了二次函数综合题，利用函数值相等的两点关于对称轴对称得出B点坐标是解题关键；利用面积的和差得出二次函数是解题关键；利用平行四边形的对边相等得出关于m的方程是解题关键．