【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与y轴交于点C(0,4),与x轴交于点A和点B,其中点A的坐标为(2,0),抛物线的对称轴x=-1与抛物线交于点D,与直线BC交于点E.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点,是否存在点F使四边形BOCF的面积最大,若存在,求出点F的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P,与抛物线相交于点Q,若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形,求点P的坐标.
【答案】(1)抛物线的解析式为y=-x2-x+4;(2)存在,F(-2,4); (3)点P的坐标(-3,1).
【解析】试题分析: (1)根据函数值相等的两点关于对称轴对称,可得B点坐标,根据待定系数法,可得函数解析式;
(2)根据面积的和差,可得二次函数,根据二次函数的性质,可得m的值,再根据自变量与函数值的对应关系,可得F点坐标;
(3)根据平行四边形的对边相等,可得关于m的方程,根据解方程,可得答案.
试题解析:
(1)由A、B关于对称轴对称,A点坐标为(2,0),得 B(-4,0).
将A、B、C点的坐标代入函数解析式,得,
解得 ,
抛物线的解析式为y=-x2-x+4;
(2)如图1,
,
设BC的解析式为y=kx+b,
将B、C点坐标代入函数解析式,得,
解得,
BC的解析式为y=x+4.
G在BC上,D在抛物线上,得
G(m,m+4),F(m,-m2-m+4).
DG=-m2-m+4-(m+4)=-m2-2m.
S四边形BOCF=S△BOC+S△BCF=BOOC+FGBO
=×4×4+×4(-m2-2m)
=8+2[-(m+2)2+2]
当m=-2时,四边形BOCF的面积最大是12,
当m=-2时,-m2-m+4=4,即F(-2,4);
(3)如图2
,
当x=-1时,y=-x2-x+4=,即D(-1, )
y=x+4=3,即E(-1,3).
DE=-3=.
P在直线BC上,Q在抛物线上,得
P(m,m+4),Q(m,-m2-m+4).
PQ=-m2-m+4-(m+4)=-m2-2m.
由以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形,得
DE=PQ,即-m2-2m=,
解得m=-1(不符合题意,舍),m=-3.
当m=-3时,y=m+4=1,
即P(-3,1).
以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形,求点P的坐标(-3,1).
点睛: 本题考查了二次函数综合题,利用函数值相等的两点关于对称轴对称得出B点坐标是解题关键;利用面积的和差得出二次函数是解题关键;利用平行四边形的对边相等得出关于m的方程是解题关键.
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【题目】据招商引资网消息,为加快新区经济发展,新区政府拟新区现代高效农业示范园区,共计划投入资金3.75亿元,精确到千万位可表示为( )
A.3.7×108
B.3.8×108
C.0.38×1010
D.37×107
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【题目】综合题。
(1)阅读以下内容并回答问题:
小雯用这个方法进行了尝试,点 向上平移3个单位后的对应点 的坐标为 , 过点 的直线的解析式为.
(2)小雯自己又提出了一个新问题请全班同学一起解答和检验此方法,请你也试试看:将直线 向右平移1个单位,平移后直线的解析式为 , 另外直接将直线 向(填“上”或“下”)平移个单位也能得到这条直线.
(3)请你继续利用这个方法解决问题:
对于平面直角坐标系xOy内的图形M,将图形M上所有点都向上平移3个单位,再向右平移1个单位,我们把这个过程称为图形M的一次“斜平移”. 求将直线 进行两次“斜平移”后得到的直线的解析式.
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【题目】如下图。
(1)画图-连线-写依据:
先分别完成以下画图(不要求尺规作图),再与判断四边形DEMN形状的相应结论连线,并写出判定依据(只将最后一步判定特殊平行四边形的依据填在横线上).
①如图1,在矩形ABEN中,D为对角线的交点,过点N画直线NP∥DE , 过点E画直线EQ∥DN , NP与EQ的交点为点M , 得到四边形DEMN;
②如图2,在菱形ABFG中,顺次连接四边AB , BF , FG , GA的中点D , E , M , N , 得到四边形DEMN.
(2)请从图1、图2的结论中选择一个进行证明.
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【题目】将方程x2-8x=10化为一元二次方程的一般形式,其中一次项系数、常数项分别是( )
A.-8、-10B.-8、10C.8、-10D.8、10
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【题目】下列是小朋友用火柴棒拼出的一组图形:
仔细观察,找出规律,解答下列各题:
(1)第四个图中共有 根火柴棒,第六个图中共有 根火柴棒;
(2)按照这样的规律,第n个图形中共有 根火柴棒(用含n的代数式表示);
(3)按照这样的规律,第20个图形中共有多少根火柴棒?
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