Question

4．解分式方程：$\frac{{x}^{2}+1}{x}$-$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$+1=0．

Answer 1

分析 令y=$\frac{{x}^{2}+1}{x}$，则原方程转化为：y$-\frac{2}{y}$+1=0，解得：y₁=-2，y₂=1，分两种情况，进行求解，即可解答．

解答 解：令y=$\frac{{x}^{2}+1}{x}$，
∴原方程转化为：y$-\frac{2}{y}$+1=0，
方程两边同乘y得：y²+y-2=0，
解得：y₁=-2，y₂=1，
经检验：y₁=-2，y₂=1，是方程y$-\frac{2}{y}$+1=0的解，
当y=-2时，即$\frac{{x}^{2}+1}{x}$=-2，
解得：x=-1，
经检验，x=-1是方程的解；
当y=1时，即$\frac{{x}^{2}+1}{x}$=1，此时方程无解；
∴分式方程：$\frac{{x}^{2}+1}{x}$-$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$+1=0的解为：x=1．

点评 本题考查了还元法解分式方程，解决本题的关键是令y=$\frac{{x}^{2}+1}{x}$，原方程转化为：y$-\frac{2}{y}$+1=0，即可解答．