Question

如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与斜边AB切于点D，与两直角分别切于点E、S，DE与AC的延长线交于点F，请判断BD与CF有何关系？写出你的猜想，并加以证明．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：连接OE、OS、OB，则四边形OECS是正方形，然后证明△OBE≌△EFC，根据全等三角形的对应边相等即可证得．

解答：解：BD=CF．
证明：连接OE、OS、OB，则四边形OECS是正方形．
则EC=EO，
∵BA和BC是圆的切线，
∴BD=BE，OB⊥DE，
∴∠BED=∠EOB，
又∵∠BED=∠ECF，
∴∠CEF=∠EOB．
在直角△OBE和直角△EFC中，

∠CEF=∠EOB OE=EC ∠OEB=∠ECF

，
∴△OBE≌△EFC（ASA），
∴BE=CF．
又∵BD=BE，
∴BD=CF．

点评：本题考查了三角形的内切圆，证明△OBE≌△EFC的关键是注意到四边形OECS是正方形．