Question

如图，双曲线y=

k

x

经过直角梯形ABEO顶点E，BA⊥x轴于点A，BE∥OA，双曲线与AB相交于点D，与OB相交于点P，若OP=2BP，且四边形DBEO的面积为20，则k=

 

．

Answer 1

考点：反比例函数系数k的几何意义

专题：计算题

分析：作PH⊥OA于H，延长BE交y轴于F点，如图，设H（2a，0），则P点坐标为（2a，

k

2a

），先证明△OPH∽△OBA，利用相似比可表示出OA=-3a，AB=

3k

4a

，则B点坐标为（3a，

3k

4a

），再根据反比例函数k的几何意义得到S_△OAD=S_△OEF=

1

2

|k|=-

1

2

k，然后根据S_{四边形BEOD}+S_△OAD=S_△OEF=S_矩形ABFO列方程20-

1

2

k-

1

2

k=-3a•

3k

4a

，再解方程即可．

解答：解：作PH⊥OA于H，延长BE交y轴于F点，如图，
设H（2a，0），则P点坐标为（2a，

k

2a

），
∵PH∥AB，
∴△OPH∽△OBA，
∴

OH

OA

=

PH

AB

=

OP

OB

，
而OP=2PB，
∴

-2a

OA

=

k 2a

AB

=

2

3

，
∴OA=-3a，AB=

3k

4a

，
∴B点坐标为（3a，

3k

4a

），
∵S_△OAD=S_△OEF=

1

2

|k|=-

1

2

k，
而S_{四边形BEOD}+S_△OAD=S_△OEF=S_矩形ABFO，
∴20-

1

2

k-

1

2

k=-3a•

3k

4a

，
∴k=-16．
故答案为-16．

点评：本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y=

k

x

图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．注意坐标表示线段时符号的问题．