Question

如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，此△ABC叫做“黄金三角形”，求证：BC²=CD•CA．

Answer 1

考点：黄金分割

专题：证明题

分析：根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出图中所有角的度数，则得到△DAB和△BDC勾是等腰三角形，再证明△ABC∽△BCD，然后利用相似比易得到结论．

解答：证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
而∠BAC=36°，
∴∠ABC=∠C=

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（180°-36°）=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=36°，
∴DA=DB，
∵∠BDC=2∠A=72°，
∴BD=BC，
∵∠A=∠CBD，∠C为公共角，
∴△ABC∽△BCD，
∴BC：CD=AC：BC，
∴BC²=CD•CA．

点评：本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点；其中AC=

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AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．