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【题目】综合与探究:如图,在平面直角坐标系中,二次函数的图象与轴交于两点,点在点的左侧,与轴交于点,点是直线下方抛物线上的一个动点.

1)求直线的解析式;

2)连接,并将沿轴对折,得到四边形.是否存在点,使四边形为菱形?若存在,求出此时点的坐标;若不存在,请说明理由;

3)当点运动到什么位置时,四边形的面积最大?求出此时点的坐标和四边形的最大面积.

【答案】12)存在点使四边形为菱形,点的坐标为3)当点运动到时,四边形的面积最大,四边形的最大面积为32

【解析】

1)求出BC的坐标,然后根据待定系数法即可求出一次函数的解析式;

2)连接PP'CO于点D.由菱形的性质得到,PC=PO,且PDCOOD=DC=4,即得到点P的纵坐标,代入二次函数解析式即可得到结论;

3)如图2,连接PO,作PMx轴于MPNy轴于N.设点P坐标为(mm2-2m-8),根据求出四边形ABPC面积的表达式,然后根据二次函数的性质求解即可.

1)当时,

解得

∵点在点的左侧,

∴点的坐标分别是

时,

∴点的坐标是

设直线的解析式为

两点的坐标代入

解方程,得

∴直线的解析式为

2)抛物线上存在点,使四边形为菱形.

如图1,连接于点

∵四边形为菱形,

,且,即点的纵坐标为-4

,得

(不合题意,舍去)

所以存在点使四边形为菱形,点的坐标为

3)如图2,连接,作轴于轴于

设点坐标为

∵点的坐标为

∴当时,

此时点坐标为

∴当点运动到时,四边形的面积最大,四边形的最大面积为32

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