Question

如图，在菱形ABCD内作一个等边△AEF，AE=AB．
（1）∠BAE与∠DAF是否相等？请说明理由；
（2）设∠BAE=x°，试用含x的式子表示∠B和∠C的大小；
（3）求∠CEF的度数．

Answer 1

考点：菱形的性质,等边三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）由菱形的性质可得AB=AE=AF=AD，可得∠B=∠AEB=∠D=∠AFD，再结合三角形内角和定理可得∠BAE=∠DAF；
（2）由（1）的结论可表示出∠BAD，再根据菱形的对边平行，结合平行线的性质可表示出∠B和∠C；
（3）在△ABE中结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求得x的值，则可求得∠CEF．

解答：解：（1）相等，理由如下：
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=AD，
∵△AEF为等边三角形，
∴AE=AF，且AE=AB，
∴AB=AE=AF=AD，
∴∠B=∠AEB=∠D=∠AFD，
∴∠BAE=∠DAF；
（2）由（1）可知∠BAE=∠DAF=x°，
∴∠BAD=∠BAE+∠DAF+∠EAF=60°+2x°，
∴∠B=180°-∠BAD=180°-（60°+2x°）=120°-2x°，
∠C=∠BAD=60°+2x°；
（3）在△ABE中，AB=AE，∠BAE=x°，
∴∠B=

1

2

（180°-x°）=90°-

1

2

x°，
又由（2）可得∠B=120°-2x°，
∴90°-

1

2

x°=120°-2x°，解得x=20
∴∠AEB=∠B=80°，
∴∠CEF=180°-∠AEB-∠AEF=180°-80°-60°=40°．

点评：本题主要考查菱形的性质及等腰三角形的性质，掌握菱形的对边平行、邻边相等及等边对等角是解题的关键，注意方程思想和三角形内角和定理的应用．