Question

【题目】已知：如图1，点O是直线AB上一点，过点O作射线OC.

(1)若∠AOC=140°，则∠BOC=________°.

(2)在图1中分别画∠AOC的角平分线OE和∠BOC的角平分线OF，那么,OE和OF有什么位置关系，请说明理由.

(3)若∠BOC=30°，射线OD从OB出发，绕点O以每秒10°角的速度逆时针旋转.当射线OD与射线OA重合时，射线OC以每秒30°角的速度绕点O逆时针旋转，射线OD按原来的速度和方向继续旋转，当射线OC或射线OD中有一条射线与射线OB重合时，两条射线都停止.设射线OD旋转的时间为t秒，在旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OB、OC与OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的平分线?若存在，直接写出所有满足条件的t的值，若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）40；（2）EO⊥FO，理由见解析（3）t=1.5s或6s

【解析】

（1）根据邻补角即可求解；

（2）根据角平分线与垂直的定义即可求解；

（3）分射线OD是射线OB、射线OC的角平分线；射线OC是射线OD、射线OB的角平分线；射线OB是射线OD、射线OC的角平分线分别讨论即可求解.

（1）∵∠AOC=140°，则∠BOC=180°-∠AOC=40°，

故填：40；

（2）EO⊥FO，理由如下：

如图：∵OE是∠AOC的角平分线，OF是∠BOC的角平分线，

∴∠COE=∠AOC，∠COF=∠BOC，

∴∠COE+∠COF=∠AOC+∠BOC=(∠AOC+∠BOC)=×180°=90°，

即∠EOF=90°，

∴EO⊥FO.

（3）由题意得当OD运动到OA时，t=18s，当OD运动到OB时，t=36s,当OC运动到OB时，t=18+330÷30=29s,

①射线OD是射线OB、射线OC的角平分线时，

当OD运动，OC不动时，0＜t＜18，

∵∠BOC=30°，

∴∠BOD=∠BOC=15°，

故t=15÷10=1.5s

当OD运动，OC也运动时，18＜t＜29,

∠BOD=360°-10t,∠BOC=360°-30-30（t-18）

∵∠BOD=∠BOC

∴360°-10t=[360°-30-30（t-18）]

解得t=15s,不符合题意，舍去；

②射线OC是射线OD、射线OB的角平分线时

当OD运动，OC不动时，0＜t＜18，

∵∠BOC=30°，

∴∠BOD=2∠BOC=60°，t=60÷10=6s;

当OD运动，OC也运动时，18＜t＜29,

射线OC在射线OB与射线OD所夹钝角之间，不符合题意；

③射线OB是射线OD、射线OC的角平分线

不存在当OD运动，OC不动的情况；

当OD运动，OC也运动时，18＜t＜29,

射线OB在射线OC与射线OD所夹钝角之间，不符合题意

综上，t=1.5s或6s时，使得射线OB、OC与OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的平分线.