Question

如图，正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点（不与M、C重合），以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线，交AD于点F，切点为E．
（1）求证：OF∥BE；
（2）设BP=x，AF=y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．

Answer 1

考点：切线的性质,全等三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：

分析：（1）连接OE，根据切线的性质求得OA⊥FA，OE⊥EF，FA=FE，根据角的平分线定理的逆定理求得∴∠AOF=∠EOF=

1

2

∠AOE，然后求得∠OBE=∠OEB，∠AOE=∠OBE+∠OEB=2∠OBE，从而求得∠AOF=∠OBE，根据平行线的判定证得OF∥BE；
（2）过F作FQ⊥BC于Q，根据勾股定理即可求得y关于x的函数解析式．

解答：（1）证明：连接OE，
∵FE、FA是⊙O的两条切线，
∴OA⊥FA，OE⊥EF，FA=FE，
∴∠AOF=∠EOF=

1

2

∠AOE，
又∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，∠AOE=∠OBE+∠OEB=2∠OBE
∴∠AOF=∠OBE．
∴OF∥BE；       

（2）解：过F作FQ⊥BC于Q，
∴PQ=BP-BQ=x-y，PF=EF+EP=FA+BP=x+y，
∵在Rt△PFQ中，FQ²+QP²=PF²，
∴2²+（x-y）²=（x+y）²，
化简得y=

1

x

，（1＜x＜2）．

点评：本题考查了切线的性质，正方形的性质，角平分线的性质定理的逆定理，勾股定理的应用等；作出辅助线构建等腰三角形和矩形是本题的关键．