Question

【题目】（感知）如图①在等边△ABC和等边△ADE中，连接BD，CE，易证：△ABD≌△ACE；

（探究）如图②△ABC与△ADE中，∠BAC=∠DAE，∠ABC=∠ADE，求证：△ABD∽△ACE；

（应用）如图③，点A的坐标为（0，6），AB=BO，∠ABO=120°，点C在x轴上运动，在坐标平面内作点D，使AD=CD，∠ADC=120°，连结OD，则OD的最小值为 ．

Answer 1

【答案】探究：见解析；应用：.

【解析】

探究：由△DAE∽△BAC，推出，可得，由此即可解决问题；

应用：当点D在AC的下方时，先判定△ABO∽△ADC，得出，再根据∠BAD＝∠OAC，得出△ACO∽△ADB，进而得到∠ABD＝∠AOC＝90°，得到当OD⊥BE时，OD最小，最后过O作OF⊥BD于F，根据∠OBF＝30°，求得OF＝OB＝，即OD最小值为；当点D在AC的上方时，作B关于y轴的对称点B'，则同理可得OD最小值为．

解：探究：如图②中，

∵∠BAC＝∠DAE，∠ABC＝∠ADE，

∴△DAE∽△BAC，∠DAB＝∠EAC，

∴，

∴，

∴△ABD∽△ACE；

应用：①当点D在AC的下方时，如图③1中，

作直线BD，由∠DAC＝∠DCA＝∠BAO＝∠BOA＝30°，可得△ABO∽△ADC，

∴，即，

又∵∠BAD＝∠OAC，

∴△ACO∽△ADB，

∴∠ABD＝∠AOC＝90°，

∵当OD⊥BE时，OD最小，

过O作OF⊥BD于F，则△BOF为直角三角形，

∵A点的坐标是（0，6），AB＝BO，∠ABO＝120°，

∴易得OB＝2，

∵∠ABO＝120°，∠ABD＝90°，

∴∠OBF＝30°，

∴OF＝OB＝，

即OD最小值为；

当点D在AC的上方时，如图③2中，

作B关于y轴的对称点B'，作直线DB'，则同理可得：△ACO∽△ADB'，

∴∠AB'D＝∠AOC＝90°，

∴当OD⊥B'E时，OD最小，

过O作OF'⊥B'D于F'，则△B'OF'为直角三角形，

∵A点的坐标是（0，6），AB'＝B'O，∠AB'O＝120°，

∴易得OB'＝2，

∵∠AB'O＝120°，∠AB'D＝90°，

∴∠OB'F'＝30°，

∴OF'＝OB'＝，

即OD最小值为．

故答案为：．