【题目】如图,点D是线段AB的中点,点C是线段AB的垂直平分线上的任意一点,DE⊥AC于点E,DF⊥BC于点F.
(1)求证:CE=CF;
(2)点C运动到什么位置时,四边形CEDF成为正方形?请说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)CD=AB时,四边形CEDF为正方形,理由见解析.
【解析】
试题分析:(1)由CD垂直平分线AB,可得AC=CB,∴∠ACD=∠BCD,再加∠EDC=∠FDC=90°,可证得△ACD≌△BCD(ASA),∴CE=CF;
(2)因为有三个角是直角,且邻边相等的四边形是正方形.所以当CD=AB时,四边形CEDF为正方形.
(1)证明:∵CD垂直平分线AB,
∴AC=CB.
∴△ABC是等腰三角形,
∵CD⊥AB,
∴∠ACD=∠BCD.
∵DE⊥AC,DF⊥BC,
∴∠DEC=∠DFC=90°
∴∠EDC=∠FDC,
在△DEC与△DFC中,
,
∴△DEC≌△DFC(ASA),
∴CE=CF.
(2)解:当CD=AB时,四边形CEDF为正方形.理由如下:
∵CD⊥AB,
∴∠CDB=∠CDA=90°,
∵CD=AB,
∴CD=BD=AD,
∴∠B=∠DCB=∠ACD=45°,
∴∠ACB=90°,
∴四边形ECFD是矩形,
∵CE=CF,
∴四边形ECFD是正方形.
考点: 1.线段垂直平分线的性质;2.正方形的判定.
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【题目】我国出租车的收费标准因地而异,济宁市规定:起步价为6元,3千米之后每千米1.4元;济南市规定:起步价8元,3千米之后每千米1.2元.
(1)求济宁的李先生乘出租车2千米,5千米应付的车费;
(2)写出在济宁乘出租车行x千米时应付的车费;
(3)当行驶路程超过3千米,不超过l3千米时,求在济南、济宁两地坐出租车的车费相差多少?
(4)如果李先生在济南和济宁乘出租车所付的车费相等,试估算出李先生乘出租车多少千米(直接写出答案,不必写过程).
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【题目】某港口位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口,各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行?为什么?
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【题目】已知点P是Rt△ABC斜边AB上一动点(不与点A,B重合),分别过点A,B向直线CP作垂线,垂足分别为点E,F,点Q为斜边AB的中点.
(1)如图①,当点P与点Q重合时,AE与BF的位置关系是________,QE与QF的数量关系是________;
(2)如图②,当点P在线段AB上且不与点Q重合时,试判断QE与QF的数量关系,并说明理由.
(温馨提示:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)
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【题目】已知,∠AOB=∠COD=90°,射线OE,FO分别平分∠AOC和∠BOD.
(1)当OB和OC重合时,如图(1),求∠EOF的度数;
(2)当∠AOB绕点O逆时针旋转至图(2)的位置(0°<∠BOC<90°)时,求∠EOF的度数.
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【题目】健身运动已成为时尚,某公司计划组装、两种型号的健身器材共套,捐给社区健身中心。组装一套型健身器材需甲种部件个和乙种部件个,组装一套型健身器材需甲种部件个和乙种部件个.公司现有甲种部件个,乙种部件个.
()公司在组装、两种型号的健身器材时,共有多少种组装方案?
()组装一套型健身器材需费用元,组装一套型健身器材需费用元,求总组装费用最少的组装方案,并求出最少组装费用?
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【题目】暑假期间,两位家长计划带领若干名学生去旅游,他们联系了报价均为每人1000元的两家旅行社.经协商,甲旅行社的优惠条件是:两位家长全额收费,学生都按7折收费;乙旅行社的优惠条件是:学生、家长都按8折收费.假设这两位家长带领x名学生去旅行,甲、乙旅行社的收费分别为y甲,y乙,
(1)写出y甲,y乙与x的函数关系式.
(2)学生人数在什么情况下,选择哪个旅行社合算?
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【题目】线段BE上有一点C,以BC,CE为边分别在BE的同侧作等边三角形ABC,DCE,连接AE,BD,分别交CD,CA于Q,P.
(1)找出图中的所有全等三角形.
(2)找出一组相等的线段,并说明理由.
(3)取AE的中点M、BD的中点N,连接MN,试判断三角形CMN的形状,并说明理由.
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