Question

4．已知关于x的方程x²-2（k-3）x+k²-4k-1=0．
（1）若这个方程有实数根，求实数k的取值范围；
（2）若以方程x²-2（k-3）x+k²-4k-1=0的两个根x₁、x₂为横坐标、纵坐标的点恰在直线y=m-x上．
①填空：m=2（k-3）（k≤5）（用k的代数式表示）；
②若直线y=m-x与平面直角坐标系xOy两坐标轴的交点分别为A、B，△AOB的内切圆半径和外接圆半径分别为r、R，是否存在实数k，使（3+2$\sqrt{2}$）r²+4R²=$\frac{1}{2}$x₁x₂？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据判别式的意义得到△=4（k-3）²-4（k²-4k-1）≥0，然后解不等式即可；
（2）①根据一次函数图象上点的坐标特征得到x₂=m-x₁，然后根据根与系数的关系求解；
②先求出A点和B点坐标，则可判断△OAB为等腰直角三角形，根据圆周角定理得AB为△AOB的外接圆直径，根据等腰直角三角形的性质可计算出R=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{2}$OA=$\sqrt{2}$|k-3|；作OC⊥AB于C，则OC平分∠AOB，OC=$\frac{1}{2}$AB=R，则根据三角形内心的定义可得△AOB的内切圆的圆心D在OC上，且⊙D与AB切于点C，作DE⊥OA于E，如图，则DE=DC=r，则OD=$\sqrt{2}$DE=$\sqrt{2}$r，所以$\sqrt{2}$r+r=R=$\sqrt{2}$|k-3|，解得r=$\frac{\sqrt{2}|k-3|}{\sqrt{2}+1}$，利用（3+2$\sqrt{2}$）r²+4R²=$\frac{1}{2}$x₁x₂得到（3+2$\sqrt{2}$）•（$\frac{\sqrt{2}|k-3|}{\sqrt{2}+1}$）²+4（$\sqrt{2}$|k-3|）²=$\frac{1}{2}$（k²-4k-1），整理得19k²-116k+181=0，根据根的判别式判断方程没有实数解，所以不存在实数k，使（3+2$\sqrt{2}$）r²+4R²=$\frac{1}{2}$x₁x₂．

解答 解：（1）根据题意得△=4（k-3）²-4（k²-4k-1）≥0，
解得k≤5；
（2）①∵x₂=m-x₁，
∴m=x₁+x₂=2（k-3）（k≤5）；
故答案为m=2（k-3）（k≤5）；
②不存在．理由如下：
直线y=-x+2（k-3），则A（2k-6，0），B（0，2k-6），则△OAB为等腰直角三角形，
∵∠AOB=90°，
∴AB为△AOB的外接圆直径
∴R=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{2}$OA=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{2}$|2k-6|=$\sqrt{2}$|k-3|，
作OC⊥AB于C，则OC平分∠AOB，OC=$\frac{1}{2}$AB=R，
∴△AOB的内切圆的圆心D在OC上，
∴⊙D与AB切于点C，
作DE⊥OA于E，如图，则DE=DC=r，
∵△ODE为等腰直角三角形，
∴OD=$\sqrt{2}$DE=$\sqrt{2}$r，
∴$\sqrt{2}$r+r=R=$\sqrt{2}$|k-3|，
∴r=$\frac{\sqrt{2}|k-3|}{\sqrt{2}+1}$，
∵x₁•x₂=k²-4k-1，
而（3+2$\sqrt{2}$）r²+4R²=$\frac{1}{2}$x₁x₂，
∴（3+2$\sqrt{2}$）•（$\frac{\sqrt{2}|k-3|}{\sqrt{2}+1}$）²+4（$\sqrt{2}$|k-3|）²=$\frac{1}{2}$（k²-4k-1），
整理得19k²-116k+181=0，
∵△=1162-4×19×181=-300＜0，
∴方程没有实数解，
∴不存在实数k，使（3+2$\sqrt{2}$）r²+4R²=$\frac{1}{2}$x₁x₂．

点评 本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、圆的外接圆与内切圆的性质和等腰直角三角形的性质；掌握根的判别式与根与系数的关系．