Question

13．如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，E是$\widehat{BD}$的中点，连接AE交BC于点F，∠ACB=2∠EAB．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若cosC=$\frac{2}{3}$，AC=6，求BF的长．

Answer 1

分析 （1）连结AD，如图，根据圆周角定理，由E是$\widehat{BD}$的中点得到∠EAB=∠EAD，由于∠ACB=2∠EAB，则∠ACB=∠DAB，再利用圆周角定理得到∠ADB=90°，则∠DAC+∠ACB=90°，所以∠DAC+∠DAB=90°，于是根据切线的判定定理得到AC是⊙O的切线；
（2）作FH⊥AB于H，如图，利用余弦定义，在Rt△ACD中可计算出CD=4，在Rt△ACB中可计算出BC=9，则BD=BC-CD=5，接着根据角平分线性质得FD=FH，于是设BF=x，则DF=FH=5-x，然后利用平行线得性质由FH∥AC得到∠HFB=∠C，所以cos∠BFH=cosC=$\frac{2}{3}$=$\frac{FH}{BF}$，再利用比例性质可求出BF．

解答 （1）证明：连结AD，如图，
∵E是$\widehat{BD}$的中点，
∴$\widehat{DE}$=$\widehat{BE}$，
∴∠EAB=∠EAD，
∵∠ACB=2∠EAB，
∴∠ACB=∠DAB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠DAC+∠ACB=90°，
∴∠DAC+∠DAB=90°，即∠BAC=90°，
∴AC⊥AB，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：作FH⊥AB于H，如图，
在Rt△ACD中，∵cosC=$\frac{CD}{AC}$=$\frac{2}{3}$，
∴CD=$\frac{2}{3}$×6=4，
在Rt△ACB中，∵cosC=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{2}{3}$，
∴BC=$\frac{3}{2}$×6=9，
∴BD=BC-CD=9-4=5，
∵∠EAB=∠EAD，即AF平分∠BAD，
而FD⊥AD，FH⊥AB，
∴FD=FH，
设BF=x，则DF=FH=5-x，
∵FH∥AC，
∴∠HFB=∠C，
在Rt△BFH中，∵cos∠BFH=cosC=$\frac{2}{3}$=$\frac{FH}{BF}$，
∴$\frac{5-x}{x}$=$\frac{2}{3}$，解得x=3，
即BF的长为3．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了解直角三角形．