Question

如图，在△ABC中，I是△ABC的内心，O是AB边上一点，⊙O经过B点且与AI相切于I点．若tan∠BAC=，则sin∠C的值为（　　）

A．      B．      C．      D．

Answer 1

B【考点】三角形的内切圆与内心．

【专题】计算题．

【分析】延长AI交BC于D，连结OI，作BH⊥AC于H，如图，根据内心的性质得∠OBI=∠DBI，则可证明OI∥BD，再根据切线的性质得OI⊥AI，则BD⊥AD，加上AI平分∠BAC，所以△ABC为等腰三角形，得到AB=AC，接着在Rt△ABH中，利用正切的定义得到tan∠BAH==，于是可设BH=24x，AH=7x，利用勾股定理得到AB=25x，则AC=AB=25x，CH=AC﹣AH=18x，然后在Rt△BCH中，利用勾股定理计算出BC=30x，再利用正弦的定义计算sinC的值．

【解答】解：延长AI交BC于D，连结OI，作BH⊥AC于H，如图，

∵I是△ABC的内心，

∴BI平分∠ABC，即∠OBI=∠DBI，

∵OB=OI，

∴∠OBI=∠OIB，

∴∠DBI=∠OIB，

∴OI∥BD，

∵AI为⊙O的切线，

∴OI⊥AI，

∴BD⊥AD，

∵AI平分∠BAC，

∴△ABC为等腰三角形，

∴AB=AC，

在Rt△ABH中，tan∠BAH==，

设BH=24x，AH=7x，

∴AB==25x，

∴AC=AB=25x，

∴CH=AC﹣AH=25x﹣7x=18x，

在Rt△BCH中，BC==30x，

∴sinC===．

故选B．

【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．也考查了等腰三角形的判定与性质．