Question

18．已知多项式2x⁴-3x³+ax²+7x+b含有因式x²+x-2，求$\frac{a}{b}$的值．

Answer 1

分析 由于x²+x-2=（x+2）（x-1），而多项式2x⁴-3x³+ax²+7x+b能被x²+x-2整除，则2x⁴-3x³+ax²+7x+b能被（x+2）（x-1）整除．运用待定系数法，可设商是A，则2x⁴-3x³+ax²+7x+b=A（x+2）（x-1），则x=-2和x=1时，2x⁴-3x³+ax²+7x+b=0，分别代入，得到关于a、b的二元一次方程组，解此方程组，求出a、b的值，进而得到$\frac{a}{b}$的值．

解答 解：∵x²+x-2=（x+2）（x-1），
∴2x⁴-3x³+ax²+7x+b能被（x+2）（x-1）整除，
设商是A．
则2x⁴-3x³+ax²+7x+b=A（x+2）（x-1），
则x=-2和x=1时，右边都等于0，所以左边也等于0．
当x=-2时，2x⁴-3x³+ax²+7x+b=32+24+4a-14+b=4a+b+42=0  ①
当x=1时，2x⁴-3x³+ax²+7x+b=2-3+a+7+b=a+b+6=0         ②
①-②，得
3a+36=0，
∴a=-12，
∴b=-6-a=6．
∴$\frac{a}{b}$=$\frac{-12}{6}$=-2．

点评 本题主要考查了待定系数法在因式分解中的应用，注意因式的特点，灵活解决问题．