Question

已知抛物线y=ax²+bx+c的对称轴是x=1，在x轴上截得的线段长为4，并且与过点C（-1，2）的直线相交于点D（2，-3）．
（1）求这条抛物线与直线CD的解析式；
（2）设此抛物线与x轴交于点A、B，且点A在点B左侧，如果点P在直线CD上，使△ABP是直角三角形，求点P的坐标；
（3）若（2）中的∠APB是锐角，求点P的横坐标的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）利用对称轴得出b=-2a，再运用x轴上截得的线段长为4，得出c=-3a，把（2，-3）解析式求解即可得出抛物线的关键式，设直线CD的解析式为y=kx+b，把C（-1，2），点D（2，-3）代入，即可得出直线CD的解析式．
（2）①由点C、A的横坐标相同，所以AC⊥x轴得出点P的坐标②同理，令BP₂⊥x轴得出P₂的坐标③设P3（t，-

5

3

x+

1

3

），根据射影定理要使其成为直角三角形，列式解出t的值，即可得出P的坐标．
（3）根据（2）问的P3，P4，结合题形即可得出点P的横坐标的取值范围．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c的称轴是x=1，
∴b=-2a
∵抛物线y=ax²+bx+c在x轴上截得的线段长为4，
∴方程ax²+bx+c=0中x₂-x₁=

(x2+x1)2-4x1x2

，
∴4=

4- 4c a

，得c=-3a
∴y=ax²-2ax-3a，把（2，-3）代入，解得a=1，b=-2，c=-3，
∴抛物线y=x²-2x-3
设直线CD的解析式为y=kx+b，
把C（-1，2），点D（2，-3）代入得

2=-k+b -3=2k+b

，
解得

k=- 5 3 b= 1 3

．
∴直线为y=-

5

3

x+

1

3

（2）如图，

①∵点C、A的横坐标相同，所以AC⊥x轴
∴P₁与C重合，△ABP是直角三角形，
∴P₁（-1，2）
②同理，令BP₂⊥x轴
P₂纵坐标为：-

5

3

×3+

1

3

=-

14

3

所以P₂（3，-

14

3

）
③设P3（t，-

5

3

x+

1

3

），
根据射影定理要使其成为直角三角形
（-

5

3

t+

1

3

）²=[t-（-1）]（3-t），化简得17t²-14t-13=0，
解得：t₁=

7+3 30

17

t₂=

7-3 30

17

综合上述
P1（-1，2）
P2（3，-

14

3

）
P3（

7+3 30

17

，

-15 30 -18

51

）
P4（

7-3 30

17

，

15 30 -18

51

）
（3）根据（2）问的P3，P4，得
P_横坐标＞

15 30 -18

51

或P_横坐标＜

-15 30 -18

51

．

点评：本题主要考查了二次函数图象与其他函数图象相结合问题，解题的关键是能分三种情况讨论点P的坐标．