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【题目】如图1,在等边三角形ABC中,CD为中线,点Q在线段CD上运动,将线段QA绕点Q顺时针旋转,使得点A的对应点E落在射线BC上,连接BQ,设∠DAQ=α

(0°<α<60°α≠30°).

(1)当0°<α<30°时,

①在图1中依题意画出图形,并求∠BQE(用含α的式子表示);

②探究线段CEACCQ之间的数量关系,并加以证明;

(2)当30°<α<60°时,直接写出线段CEACCQ之间的数量关系.

【答案】(1)①CE+AC=;(2)CE-AC=,理由见解析

【解析】(1) ①根据旋转的性质及等边三角形的对称性可得QA=QB,再由QB=QE可得;②延长CA到点F,使得AF=CE,连接QF,作QH⊥AC于点H,

1)当α30°时,由∠BQE=60°+2α可得QEC=120°+α,再利用△QAF≌△QEC可得QF=QC,由等腰三角形三线合一的性质可得ACQ =30°,得到△QCF为等腰三角形,再利用解直角三角形即可得出结果;(2)由旋转的性质可得线段CE,AC,CQ之间的数量关系.

①画出的图形如图9所示.

ABC为等边三角形,

ABC=60°

CD为等边三角形的中线,

Q为线段CD上的点,

由等边三角形的对称性得QA=QB

DAQ=α

ABQ=DAQ=α,∠QBE=60°-α

线段QE为线段QA绕点Q顺时针旋转所得,

QE = QA

QB=QE

可得

证法一:如图10,延长CA到点F,使得AF=CE,连接QF,作QHAC于点H

BQE=60°+2α,点EBC上,

QEC=BQE+QBE =(60°+2α)+( 60°-α)=120°+α

FCA的延长线上,∠DAQ=α

QAF=BAF+DAQ=120°+α

QAF=QEC

又∵ AF =CEQA=QE

QAF≌△QEC

QF=QC

QHAC于点H

FH=CHCF=2CH

在等边三角形ABC中,CD为中线,

QCD上,

ACQ==30°

QCF为底角为30°的等腰三角形.

思路二:如图11,延长CB到点G,使得BG=CE,连接QG,可得

QBG≌△QECQCG为底角为30°的等腰三角形,与证法一

同理可得

2)如图12,当30°α60°时,

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,

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