Question

已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G．

（1）如图①，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证；

（2）如图②，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得成立？并证明你的结论；

（3）如图③，若BA=BC=2，DA=DC=，∠BAD＝90°，DE⊥CF，试求的值．

Answer 1

（1）证明见解析；（2）当∠B+∠EGC＝180°时，成立；理由见解析；（3）.

【解析】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝90°，∵DE⊥CF，∴∠ADE＝∠DCF，∴△ADE∽△DCF，∴．

（2）当∠B+∠EGC＝180°时，成立.

 在AD的延长线上取点M，使CM＝CF，则∠CMF＝∠CFM．

∵AB∥CD，∴∠A＝∠CDM，∵∠B+∠EGC＝180°，∴∠AED＝∠FCB，∴∠CMF＝∠AED．

∴△ADE∽△DCM，∴，即．

（3）过点C作CH⊥AD于H，可证△ADE∽△HCF，∴．