Question

6．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC．求证：$\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

Answer 1

分析 根据等腰三角形的性质和角平分线的定义证明△ABC∽△BDC，根据黄金分割的概念计算即可．

解答 解：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=$\frac{1}{2}$（180°-36°）=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=$\frac{1}{2}$∠ABC=36°，
∴DA=DB，
∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°，
∴BD=BC，
∴AD=BC，
∵∠A=∠CBD，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴BC：DC=AC：BC，
∴AD：DC=AC：AD，
∴点D为AC的黄金分割点，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴$\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

点评 本题考查考查的是黄金分割的概念、相似三角形的性质和等腰三角形的性质，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$叫做黄金比．