Question

14．如图，已知抛物线y=x²+bx+c交x轴于点A（-1，0）、B（2，0），交y轴于点C，抛物线的对称轴交x轴于点H，直线y=kx（k＞0）交抛物线于点M、N（点M在N的右侧），交抛物线的对称轴于点D．
（1）求b和c的值；
（2）如图（1），若将抛物线y=x²+bx+c沿y轴方向向上平移$\frac{5}{4}$个单位，求证：所得新抛物线图象均在直线BC的上方；
（3）如图（2），若MN∥BC．
①连接CD、BM，判断四边形CDMB是否为平行四边形，说明理由；
②以点D为圆心，DH长为半径画圆⊙D，点P、Q分别为抛物线和⊙D上的点，试求线段PQ长的最小值．

Answer 1

分析 （1）把A、B两点代入转化为方程组，即可解决问题．
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-2}\\{y={x}^{2}-x-\frac{3}{4}}\end{array}\right.$消去y得到x²-2x+$\frac{5}{4}$=0用判别式解决．
（3）①求出DM、BC的长即可判断．
②根据两点间距离公式，利用配方法转化为二次函数最值问题即可解决．

解答 解：（1）由题意$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{4+2b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-1}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
所以b=-1，c=-2．
（2）∵抛物线为y=（x+1）（x-2）=x²-x-2，沿y轴方向向上平移$\frac{5}{4}$个单位，
∴新抛物线为y=x²-x-$\frac{3}{4}$，
设直线BC为y=kx+b，由题意得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{2k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
所以直线BC为y=x-2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-2}\\{y={x}^{2}-x-\frac{3}{4}}\end{array}\right.$消去y得到x²-2x+$\frac{5}{4}$=0，
∵△=4-5=-1＜0，
∴方程组无解，抛物线与直线BC没有交点．
（3）①∵直线MN的解析式为y=x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y={x}^{2}-x-2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{3}}\\{y=1+\sqrt{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\sqrt{3}}\\{y=1-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴M（1+$\sqrt{3}$，1+$\sqrt{3}$），
∵D（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
∴DM=$\sqrt{（\frac{1}{2}+\sqrt{3}）^{2}+（\frac{1}{2}+\sqrt{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$，
∵BC=2$\sqrt{2}$，
∵MN∥BC，MD≠BC，
∴四边形CDMB不是平行四边形．
②设点P（m，m²-m-2），
∵点D坐标为（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
∴PD²=（m-$\frac{1}{2}$）²+（m²-m-$\frac{5}{2}$）²
=（m-$\frac{1}{2}$）²+[（m-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{11}{4}$]²
=（m-$\frac{1}{2}$）⁴-$\frac{9}{2}$（m-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{121}{16}$
=[（m-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{9}{4}$]²+$\frac{10}{4}$，
∴PD²的最小值=$\frac{10}{4}$，
∴PD的最小值=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
∵DQ=$\frac{1}{2}$，
∴线段PQ的最小值=$\frac{\sqrt{10}-1}{2}$．

点评 本题考查待定系数法确定一次函数、二次函数解析式、解题的关键是利用配方法，转化为二次函数的最值问题，有一定的代数化简技巧，属于中考压轴题．