【题目】在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+(k﹣1)x﹣k与直线y=kx+1交于A,B两点,点A在点B的左侧.
(1)如图1,当k=1时,直接写出A,B两点的坐标;
(2)在(1)的条件下,点P为抛物线上的一个动点,且在直线AB下方,试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标;
(3)如图2,抛物线y=x2+(k﹣1)x﹣k(k>0)与x轴交于点C、D两点(点C在点D的左侧),在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q,使得∠OQC=90°?若存在,请求出此时k的值;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)
解:当k=1时,抛物线解析式为y=x2﹣1,直线解析式为y=x+1.
联立两个解析式,得:x2﹣1=x+1,
解得:x=﹣1或x=2,
当x=﹣1时,y=x+1=0;当x=2时,y=x+1=3,
∴A(﹣1,0),B(2,3)
(2)
解:方法一:
设P(x,x2﹣1).
如答图2所示,过点P作PF∥y轴,交直线AB于点F,则F(x,x+1).
∴PF=yF﹣yP=(x+1)﹣(x2﹣1)=﹣x2+x+2.
S△ABP=S△PFA+S△PFB= PF(xF﹣xA)+ PF(xB﹣xF)= PF(xB﹣xA)= PF
∴S△ABP= (﹣x2+x+2)=﹣ (x﹣ )2+
当x= 时,yP=x2﹣1=﹣ .
∴△ABP面积最大值为 ,此时点P坐标为( ,﹣ )
方法二:
过点P作x轴垂线,叫直线AB于F,
设P(t,t2﹣1),则F(t,t+1)
∴S△ABP= (FY﹣PY)(BX﹣AX),
∴S△ABP= (t+1﹣t2+1)(2+1),
∴S△ABP=﹣ t2+ t+3,
当t= 时,S△ABP有最大值,∴S△ABP=
(3)
解:方法一:
设直线AB:y=kx+1与x轴、y轴分别交于点E、F,
则E(﹣ ,0),F(0,1),OE= ,OF=1.
在Rt△EOF中,由勾股定理得:EF= = .
令y=x2+(k﹣1)x﹣k=0,即(x+k)(x﹣1)=0,解得:x=﹣k或x=1.
∴C(﹣k,0),OC=k.
(i)假设存在唯一一点Q,使得∠OQC=90°,如答图3所示,
则以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q,根据圆周角定理,此时∠OQC=90°.
设点N为OC中点,连接NQ,则NQ⊥EF,NQ=CN=ON= .
∴EN=OE﹣ON= ﹣ .
∵∠NEQ=∠FEO,∠EQN=∠EOF=90°,
∴△EQN∽△EOF,
∴ ,即: ,
解得:k=± ,
∵k>0,
∴k= .
∴存在唯一一点Q,使得∠OQC=90°,此时k= .
(ii)若直线AB过点C时,此时直线与圆的交点只有另一点Q点,故亦存在唯一一点Q,使得∠OQC=90°,
将C(﹣k,0)代入y=kx+1中,
可得k=1,k=﹣1(舍去),
故存在唯一一点Q,使得∠OQC=90°,此时k=1.
综上所述,k= 或1时,存在唯一一点Q,使得∠OQC=90°.
方法二:
∵y=x2+(k﹣1)x﹣k,
∴y=(x+k)(x﹣1),
当y=0时,x1=﹣k,x2=1,
∴C(﹣k,0),D(1,0),
点Q在y=kx+1上,设Q(t,kt+1),O(0,0),
∵∠OQC=90°,∴CQ⊥OQ,∴KCQ×KOQ=﹣1,
∴
∴(k2+1)t2+3kt+1=0有唯一解,
∴△=(3k)2﹣4(k2+1)=0,
∴k1= ,k2=﹣ (k>0故舍去),∴k=
【解析】方法一:(1)当k=1时,联立抛物线与直线的解析式,解方程求得点A、B的坐标;(2)如答图2,作辅助线,求出△ABP面积的表达式,然后利用二次函数的性质求出最大值及点P的坐标;(3)“存在唯一一点Q,使得∠OQC=90°”的含义是,以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q,由圆周角定理可知,此时∠OQC=90°且点Q为唯一.以此为基础,构造相似三角形,利用比例式列出方程,求得k的值.需要另外注意一点是考虑直线AB是否与抛物线交于C点,此时亦存在唯一一点Q,使得∠OQC=90°.方法二:(1)联立直线与抛物线方程求出点A,B坐标.(2)利用面积公式求出P点坐标.(3)列出定点O坐标,用参数表示C,Q点坐标,利用黄金法则二求出k的值.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用二次函数的性质的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知点A、D、C、F在同一条直线上,AB=DE,BC=EF,要使△ABC≌△DEF,还需要添加一个条件是( )
A. ∠BCA=∠F B. BC∥EF C. ∠A=∠EDF D. AD=CF
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】在某文具商场中,每个画板定价为20元,每盒水彩笔定价为5元.为促进销售,商场制定两种优惠方案:一种是买一个画板赠送一盒水彩笔;另一种是按总价九折付款。王老师准备为学校美术小组购买画板4个,水彩笔若干盒(不少于4盒)。
(1)分别求出每种方案下王老师应支付多少元?(用代数式表示)
(2)如果购买24盒水彩笔,哪种方案更省钱?若买50盒水彩笔呢?
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】考试前,同学们总会采用各种方式缓解考试压力,以最佳状态迎接考试.某校对该校九年级的部分同学做了一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动,学校将减压方式分为五类,同学们可根据自己的情况必选且只选其中一类.学校收集整理数据后,绘制了图1和图2两幅不完整的统计图,请根据统计图中信息解答下列问题:
(1)这次抽样调查中,一共抽查了多少名学生?
(2)请补全条形统计图;
(3)请计算扇形统计图中“享受美食”所对应扇形的圆心角的度数;
(4)根据调查结果,估计该校九年级500名学生中采用“听音乐”来减压方式的人数.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,四边形ABCD是平行四边形,P是CD上一点,且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA.
(1)求∠APB的度数;
(2)如果AD=5 cm,AP=8 cm,求△APB的周长.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】平行四边形ABCD中,E,F是对角线BD上的两点, 如果添加一个条件使△ABE≌△CDF,则添加的条件不能是( )
A. AE=CF B. BE=FD C. BF=DE D. ∠1=∠2
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】一种笔记本的售价为2.2元/本,如果买100本以上,超过100本部分的售价为2元/本.
(1)小强和小明分别买了50本和200本,他们俩分别花了多少钱?
(2)如果小红买这种笔记本花了380元,她买了多少本?
(3)如果小红买这种笔记本花了n元,她又买了多少本?
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】在一次主题为“学会生存”的中学生社会实践活动中,春华同学为了锻炼自己,他通过了解市场行情,以每件元的价格从批发市场购进若干件印有北京奥运标志的文化衫到自由市场去推销,当销售完件之后,销售金额达到元,余下的每件降价元,很快推销完毕,此时销售金额达到元,春华同学在这次活动中获得纯收入_______元.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】在线段AB的同侧作射线AM和BN,若∠MAB与∠NBA的平分线分别交射线BN,AM于点E,F,AE和BF交于点P.如图,点点同学发现当射线AM,BN交于点C;且∠ACB=60°时,有以下两个结论:
①∠APB=120°;②AF+BE=AB.
那么,当AM∥BN时:
(1)点点发现的结论还成立吗?若成立,请给予证明;若不成立,请求出∠APB的度数,写出AF,BE,AB长度之间的等量关系,并给予证明;
(2)设点Q为线段AE上一点,QB=5,若AF+BE=16,四边形ABEF的面积为32 ,求AQ的长.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com