Question

5．如图，在△ABC中，CA=CB，∠CAB=30°，⊙O经过点C，且圆的直径AD在线段AB上．
（1）试说明CB是⊙O的切线；
（2）∠AOC的平分线OE交弧AC于点E，求证：四边形AOCE是菱形；
（3）在（2）的条件下，设点M是线段AC上任意一点（不含端点），连接OM，当$\frac{1}{2}$CM+OM的最小值为4$\sqrt{3}$时，求⊙O的半径r的值．

Answer 1

分析 （1）首先连接OC，由在△ABC中，CA=CB，∠CAB=30°，易得∠ACB=120°，∠ACO=30°，继而证得结论；
（2）由∠CAB=30°，易证得△AOE和△COE是等边三角形，即可得AO=OC=CE=EA，继而证得四边形AOCE是菱形；
（3）首先由（2）易得O、E两点关于AC对称，然后连接MO，ME，则MO=ME，过M点作MF⊥OC，垂足为F，可得当当E、M、F三点共线时，$\frac{1}{2}$CM+OM有最小值，继而求得答案．

解答 （1）证明：如图1，连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC=30°，
又∵CA=CB，∠CAB=30°，
∴∠ACB=120°，
∴∠OCB=∠ACB-∠OCA=120°-30°=90°，
∴CB⊥CO，
即CB是⊙O的切线；

（2）证明：∵OA=OC，∠CAB=30°，
∴∠AOC=120°，
又∵OE平分∠AOC，
∴∠AOE=∠COE=60°，
又∵OA=OE=OC，
∴△AOE和△COE都是等边三角形，
∴AO=OC=CE=EA
∴四边形AOCE是菱形；

（3）解：由（2）知：四边形AOCE是菱形，
∴OE与AC互相垂直且平分，
∴O、E两点关于AC对称，
连接MO，ME，则MO=ME，
过M点作MF⊥OC，垂足为F，
在Rt△MFC中，∠MCF=30°，
∴MF=$\frac{1}{2}$CM，
∴$\frac{1}{2}$CM+OM=MF+ME≥EF，
即当E、M、F三点共线时，$\frac{1}{2}$CM+OM有最小值，最小值是EF=4$\sqrt{3}$，
在Rt△OEF中，EF=OEsin∠EOF，
即4$\sqrt{3}$=r•$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴r=8．

点评 此题属于圆的综合题．考查了切线的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及三角函数等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．