Question

在△ABC的外接圆⊙O中，△ABC的外角平分线CD交⊙O于点D，F为上﹣

点，且= 连接DF，并延长DF交BA的延长线于点E．

（1）判断DB与DA的数量关系，并说明理由；

（2）求证：△BCD≌△AFD；

（3）若∠ACM=120°，⊙O的半径为5，DC=6，求DE的长．

Answer 1

解：（1）DB=DA．

理由：∵CD是△ABC的外角平分线，

∴∠MCD=∠ACD，

∵∠MCD+∠BCD=180°，∠BCD+∠BAD=180°，

∴∠MCD=∠BAD，

∴∠ACD=∠BAD，

∵∠ACD=∠ABD，

∴∠ABD=∠BAD，

∴DB=DA；

（2）证明：∵DB=DA，

∴=，

∵=，

∴AF=BC，=，

∴CD=FD，

在△BCD和△AFD中，

，

∴△BCD≌△AFD（SSS）；

（3）连接DO并延长，交AB于点N，连接OB，

∵DB=DA，

∴=，

∴DN⊥AB，

∵∠ACM=120°，

∴∠ABD=∠ACD=60°，

∵DB=DA，

∴△ABD是等边三角形，

∴∠OBA=30°，

∴ON=OB=×5=2.5，

∴DN=ON+OD=7.5，

∴BD==5，

∴AD=BD=5，

∵=，

∴=，

∴∠ADC=∠BDF，

∵∠ABD=∠ACD，

∴△ACD∽△EBD，

∴，

∴，

∴DE=12.5．