Question

【题目】已知二次函数y＝﹣x2+x+4图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．

（1）如图1，点P是直线BC上方的抛物线上一动点，过点P作PD⊥x轴交BC于点E，交x轴于点D．点M为线段OC上一动点，过点M作MN∥x轴交抛物线的对称轴于点N，当四边形BOCP面积最大时，求EN+MN+CM的最小值．

（2）在（1）的条件下，将△AMN在直线CN上平移，点M的对应点为点M'，是否存在点M'使得△MOM'成为等腰三角形？若存在，请直接写出点M'的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）EN+MN+CM的最小值＝；（2）点M′的坐标为（﹣，﹣）或（，）或（，）或（，﹣）．

【解析】

（1）当四边形BOCP面积最大时，只需要△BCP的面积S最大，此时点E（，2）；过点E′作E′H⊥CH于点H，交y轴于点M，过点M作MN⊥抛物线对称轴交于点N，则点M、N为所求，即可求解；

（2）分MM′＝OM、MM′＝OM′、OM′＝OM三种情况，分别求解即可．

（1）二次函数y＝﹣x2+x+4图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，

则点A、B、C的坐标分别为：（﹣，0）、（3，0）、（0，4）；

（1）当四边形BOCP面积最大时，只需要△BCP的面积S最大，

由点B、C的坐标得直线BC的表达式为：y＝﹣x+4，

设点P（x，﹣x2+x+4），则点E（x，﹣x+4），

S＝×PE×OB＝（﹣x2+x+4+x﹣4）＝（﹣x2+3x），

当x＝时，S最大，此时点E（，2）；

过点C作∠CMH＝α，使sinα＝，

抛物线的对称轴为：x＝，则MN＝，

将点E向左平移MN的长度个单位，得到点E′（，2），

过点E′作E′H⊥CH于点H，交y轴于点M，过点M作MN⊥抛物线对称轴交于点N，则点M、N为所求，

连接EN，∵EE′＝MN，EE′∥MN，

∴EE′MN为平行四边形，则EN＝E′M，

EN+MN+CM的最小值＝E′M+HM+MN＝E′M+HM+，

直线HE′表达式中的k为﹣，点E′（，2），

则直线HE′的表达式为：y＝﹣x+，

故点M（0，），点N（，）；

EN+MN+CM的最小值＝E′M+HM+＝+×（4﹣）+＝；

（2）点M（0，），点N（，）、点C（0，4），

则直线CN表达式中的k为﹣，设点M向下平移4m个单位，则向右平移3m个单位，

故点M′（3m，﹣4m），

则MM′2＝（3m）2+（4m）2＝25m2；OM2＝（）2；OM′2＝（3m）2+（﹣4m）2；

①当MM′＝OM时，25m2＝（）2，解得：m＝；

②当MM′＝OM′时，同理可得：m＝,∴M′（，）；

③当OM′＝OM时，同理可得：m＝，∴M′（，﹣）；

综上，点M′的坐标为：（﹣，﹣）或（，）或（，）或（，﹣）．