Question

如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，点D是AB的中点，E、F在射线AC与射线CB上运动，且满足AE=CF；当点E运动到与点C的距离为1时，则△DEF的面积=

 

．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：动点型

分析：易证△ADE≌△CDF，△CDE≌△BCF，可得四边形CEDF面积是△ABC面积的一半，再计算△CEF的面积即可解题．

解答：解：①E在线段AC上，
∵在△ADE和△CDF中，

AD=CD ∠A=∠DCF AE=CF

，
∴△ADE≌△CDF，（SAS），
∴同理△CDE≌△BDF，
∴四边形CEDF面积是△ABC面积的一半，
∵CE=1，∴CF=4-1=3，
∴△CEF的面积=

1

2

CE•CF=

3

2

，
∴△DEF的面积=

1

2

×2

2

×2

2

-

3

2

=

5

2

．
②E'在AC延长线上，

∵AE'=CF'，AC=BC=4，∠ACB=90°，
∴CE'=BF'，∠ACD=∠CBD=45°，CD=AD=BD=2

2

，
∴∠DCE'=∠DBF'=135°，
∵在△CDE'和△BDF'中，

CD=BD ∠DCE′=∠DBF′ CE′=BF′

，
∴△CDE'≌△BDF'，（SAS）
∴DE'=DF'，∠CDE'=∠BDF'，
∵∠CDE'+∠BDE'=90°，
∴∠BDE'+∠BDF'=90°，即∠E'DF'=90°，
∵DE'²=CE'²+CD²-2CD•CE'cos135°=1+8+2×2

2

×

2

2

=13，
∴S_△E'DF'=

1

2

DE'²=

13

2

．
故答案为

13

2

或

5

2

．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ADE≌△CDF和△CDE≌△BCF是解题的关键．