Question

【题目】如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线BD交抛物线于点D，并且，．

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C，求面积的最大值；

（3）在（2）中面积最大的条件下，过点M作直线平行于y轴，在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）4；（3）存在，Q的坐标为或

【解析】

根据题意将、的坐标代入抛物线表达式，即可求解；

由题意设点M的坐标为，则点，，即可求解；

由题意和如图所示可知，，在中，，，，进行分析计算即可求解．

解：将、的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，

则抛物线的解析式为：；

过点M作y轴的平行线，交直线BC于点K，

将点B、C的坐标代入一次函数表达式：得：，解得：，

则直线BC的表达式为：，

设点M的坐标为，则点，

，

，有最大值，

当时，

最大值为4，

点M的坐标为；

如图所示，存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆，切点为N，

过点M作直线平行于y轴，交直线AC于点H，

点M坐标为，设：点Q坐标为，

点A、C的坐标为、，，

轴，

，

，则，

将点A、C的坐标代入一次函数表达式：得：，

则直线AC的表达式为：，

则点，

在中，，，

，

解得：或，

即点Q的坐标为或．