Question

【题目】（发现）

如图∠ACB=∠ADB=90°，那么点D在经过A，B，C三点的圆上（如图①）．

如图②，如果∠ACB=∠ADB=a（a≠90°）（点C，D在AB的同侧），那么点D还在经过A，B，C三点的圆上吗？请证明点D也不在⊙O内．

（应用）

利用（发现）和（思考）中的结论解决问题：

（1）如图④，已知∠BCD=∠BAD，∠CAD=40°，求∠CBD的度数．

（2）如图⑤，若四边形ABCD中，∠CAD=90°，作∠CDF=90°，交CA延长线于F，点E在AB上，∠AED=∠ADF，CD=3，EC=2，求ED的长．

Answer 1

【答案】发现：点D也不在⊙O内；证明见解析；应用：（1）40°；（2）.

【解析】

发现：如图②，如果∠ACB=∠ADB=a（a≠90°）（点C，D在AB的同侧），那么点D还在经过A，B，C三点的圆上．如图⑤中，点假设D在⊙O内，延长AD交△ABC的外接圆于E，连接BE．利用反证法即可解决问题；

应用：（1）只要证明A、B、C、D四点共圆即可解决问题；

（2）只要证明点E与B重合，由∠DBC=∠DAC=90°，CD=3，BC=2，推出DE=DB==．

解：发现：如图②，如果∠ACB=∠ADB=a（a≠90°）（点C，D在AB的同侧），那么点D还在经过A，B，C三点的圆上．

如图⑤中，点假设D在⊙O内，延长AD交△ABC的外接圆于E，连接BE．

∵∠ACB=∠AEB，∠ADB＞∠AEB，

∴∠ADB＞∠ACB，这个与已知条件∠ACB=∠ADB矛盾，

∴假设不成立，

∴点D也不在⊙O内．

应用（1）如图④中，

∵∠DCB=∠DAB，

∴A、B、C、D四点共圆，

∴∠CBD=∠CAD=40°，

（2）如图⑤中，

∵∠CDF=∠DAC=90°，

∴∠ADF+∠CDA=90°，∠CDA+∠ACD=90°，

∴∠ADF=∠ACD，

∵∠ADF=∠AED，

∴∠AED=∠ACD，

∵∠ACD=∠ABD，

∴点E与B重合，

∵∠DBC=∠DAC=90°，CD=3，BC=2，

∴DE=DB==．