Question

如图，已知抛物线y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，且点A在点B的左侧．

（1）若抛物线过点G（2，2），求实数m的值；

（2）在（1）的条件下，解答下列问题：

①求出△ABC的面积；

②在抛物线的对称轴上找一点H，使AH+CH最小，并求出点H的坐标；

（3）在第四现象内，抛物线上是否存在点M，使得以点A、B、M为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵抛物线过G（2，2），

∴把G坐标代入抛物线解析式得：2=﹣（2+2）（2﹣m），

解得：m=4；

（2）①令y=0，得到﹣（x+2）（x﹣m）=0，

解得：x₁=﹣2，x₂=m，

∵m＞0，

∴A（﹣2，0），B（m，0），

把m=4代入得：B（4，0），

∴AB=6，

令x=9，得到y=2，即C（0，2），

∴OC=2，

则S△ABC=×6×2=6；

②∵A（﹣2，0），B（4，0），

∴抛物线解析式为y=﹣（x+2）（x﹣4）的对称轴为x=1，

如图1，连接BC交对称轴于点H，由对称轴的性质和两点之间线段最短的性质可得：此时AH+CH=BH+CH=BC最小，

设直线BC的解析式为y=kx+b，

把B与C坐标代入得：，

解得：，

∴直线BC解析式为y=﹣x+2，

令x=1，得到y=，即H（1，）；

（3）在第四现象内，抛物线上存在点M，使得以点A、B、M为顶点的三角形与△ACB相似，

分两种情况考虑：

（i）当△ACB∽△ABM时，则有=，即AB²=AC•AM，

∵A（﹣2，0），C（0，2），即OA=OC=2，

∴∠CAB=45°，∠BAM=45°，

如图2，过M作MN⊥x轴，交x轴于点N，则AN=MN，

∴OA+ON=2+ON=MN，

设M（x，﹣x﹣2）（x＞0），

把M坐标代入抛物线解析式得：﹣x﹣2=﹣（x+2）（x﹣m），

∵x＞0，∴x+2＞0，

∵m＞0，∴x=2m，即M（2m，﹣2m﹣2），

∴AM==2（m+1），

∵AB²=AC•AM，AC=2，AB=m+2，

∴（m+2）²=2•2（m+1），

解得：m=2±2，

∵m＞0，

∴m=2+2；

（ii）当△ACB∽△MBA时，则=，即AB²=CB•MA，

∵∠CBA=∠BAM，∠ANM=∠BOC=90°，

∴△ANM∽△BOC，

∴=，

∵OB=m，设ON=x，

∴=，即MN=（x+2），

令M（x，﹣（x+2））（x＞0），

把M坐标代入抛物线解析式得：﹣（x+2）=﹣（x+2）（x﹣m），

∵x＞0，∴x+2＞0，

∵m＞0，∴x=m+2，即M（m+2，﹣（m+4）），

∵AB²=CB•MA，CB=，AN=m+4，MN=（m+4），

∴（m+2）2=•，

整理得：=0，显然不成立，

综上，在第四象限内，当m=2+2时，抛物线上存在点M，使得以点A、B、M为顶点的三角形与△ACB相似．