Question

【题目】图1和图2，半圆O的直径AB=4，点P（不与点A，B重合）为半圆上一点，将图形沿着BP折叠，分别得到点A，O的对称点A′，O′，设∠ABP=α．

（1）如图1，当α=22.5°时，过点A′作A′C∥AB，判断A′C与半圆O的位置关系，并说明理由．

（2）如图2，当α=　 　时，点O′落在上．当α=　 　时，BA′与半圆O相切．

（3）当线段B O′与半圆O只有一个公共点B时，α的取值范围是　 　．

Answer 1

【答案】（1）相离(2) 30°；45° (3) 0°＜α＜30°或45°≤α＜90°

【解析】分析：（1）过O作OD⊥A′C于点D，交A′B于点E，利用含30°角的直角三角形的性质可求得DE+OE=A′B=AB＞OA，可判定A′C与半圆相离；

（2）当O′在上时，连接AO′，则可知BO′=AB，可求得∠O′BA=60°，可求得α=30°，当BA′与半圆相切时，可知OB⊥A′B，则可知α=45°；

（3）利用（2）可知当α=30°时，线段O′B与圆交于O′，当α=45°时交于点B，结合题意可得出满足条件的α的范围．

详解：（1）相离，理由如下：

如图1，过O作OD过O作OD⊥A′C于点D，交A′B于点E，

∵α=22.5°，A′C∥AB，∴∠ABA′=∠CA′B=45°，∴DE=A′E，OE=BE，∴DO=DE+OE=（A′E+BE）=AB＞OA，∴A′C与半圆O相离；

（2）当O′在上时，如图2，

连接AO′，则可知BO′=AB，∴∠O′AB=30°，∴∠ABO′=60°，∴α=30°；

当BA′与半圆O相切时，则OB⊥BA′，∴∠OBA′=2α=90°，∴α=45°．

故答案为：30°；45°；

（3）∵点P，A不重合，∴α＞0，由（2）可知当α增大到30°时，点O′在半圆上，∴当0°＜α＜30°时点O′在半圆内，线段BO′与半圆只有一个公共点B；

当α增大到45°时BA′与半圆相切，即线段BO′与半圆只有一个公共点B．

当α继续增大时，点P逐渐靠近点B，但是点P，B不重合，∴α＜90°，∴当45°≤α＜90°线段BO′与半圆只有一个公共点B．

综上所述：0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．

故答案为：0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．