Question

如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是BC边上任意一点，求证：BD²+CD²=2AD²．

Answer 1

考点：勾股定理

专题：证明题

分析：作AE⊥BC于E，由于∠BAC=90°，AB=AC，所以BE=CE，要证明BD²+CD²=2AD²，只需找出BD、CD、AD三者之间的关系即可，由勾股定理可得出AD²=AE²+ED²，AE²=AB²-BE²=AC²-CE²，ED=BD-BE=CE-CD，代入求出三者之间的关系即可得证．

解答：证明：作AE⊥BC于E，如图所示：
由题意得：ED=BD-BE=CE-CD，
∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴BE=CE=

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2

BC，
由勾股定理可得：
AB²+AC²=BC²，
AE²=AB²-BE²=AC²-CE²，
AD²=AE²+ED²，
∴2AD²=2AE²+2ED²=AB²-BE²+（BD-BE）²+AC²-CE²+（CE-CD）²
=AB²+AC²+BD²+CD²-2BD×BE-2CD×CE
=AB²+AC²+BD²+CD²-2×

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2

BC×BC
=BD²+CD²，即，BD²+CD²=2AD²．

点评：本题考查的是勾股定理，关键在于找出直角三角形利用勾股定理求证，本题主要运用“等量代换”求出BD、CD、AD三者之间的关系．