Question

有两个全等的等腰直角△ABC、△DEF，∠BAC=∠EDF=90°，AB=AC=DE=DF=2

2

．将△DEF的顶点E放在BC上移动（E与B、C不重合），在E点移动过程中，始终保持DE经过点A，EF交BC于点G．当E为BC的中点时，如图①，易证△ABE∽△ECG．

（1）当E不是BC的中点时，如图②，△ABE∽△ECG还成立吗？请说明理由
（2）在图②中，如果BE=1，求CG的长；
（3）在E点移动过程中，CG的长也在变化，请直接写出CG的最大值．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：综合题

分析：（1）由条件可得到∠B=∠C=∠DEF=45°，从而可证到∠GEC=∠BAE，即可得到△ABE∽△ECG．
（2）运用勾股定理可求出BC、EC的值，然后运用相似三角形的性质即可解决问题．
（3）设BE=x，运用相似三角形的性质可得到CG是关于x的二次函数，只需运用配方法即可解决问题．

解答：解：（1）当E不是BC的中点时，如图②，△ABE∽△ECG仍然成立．
理由如下：
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°．
∵∠EDF=90°，DE=DF，
∴∠DEF=∠F=45°．
∵∠AEC=∠AEG+∠GEC=45°+∠GEC，
∠AEC=∠B+∠BAE=45°+∠BAE，
∴∠GEC=∠BAE，
∵∠B=∠C，∠BAE=∠GEC，
∴△ABE∽△ECG．

（2）如图②，
∵∠BAC=90°，AB=AC=2

2

，
∴BC=

AB2+AC2

=4．
∵BE=1，∴EC=3．
∵△ABE∽△ECG，
∴

BE

CG

=

AB

EC

，
∴

1

CG

=

2 2

3

，
∴CG=

3 2

4

．
∴CG的长为

3 2

4

．

（3）如图②，设BE=x，则EC=4-x．
∵△ABE∽△ECG，
∴

BE

CG

=

AB

EC

，
∴AB•CG=BE•EC，
∴2

2

•CG=x（4-x）=-x²+4x，
∴CG=

2

4

（-x²+4x）
=-

2

4

（x²-4x）
=-

2

4

[（x-2）²-4]
=-

2

4

（x-2）²+

2

．
∵-

2

4

＜0，
∴当x=2时，CG取最大值，为

2

．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质、二次函数的最值、勾股定理等知识，而运用相似三角形的性质是解决第（2）小题的关键，运用相似三角形的性质及配方法是解决第（3）小题的关键．