Question

在等边△ABC内有一点O，连接AO、BO、CO，若AO=2，BO=1，CO=

3

，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：面积及等积变换,等边三角形的判定与性质,含30度角的直角三角形,勾股定理,勾股定理的逆定理,旋转的性质

专题：计算题

分析：要求等边△ABC的面积，只需求BC长，过点B作BE⊥OC，交CO的延长线于点E，只需求出BE和EC的长．由条件容易发现CO、BO、AO三条线段构成的三角形是直角三角形，因而可通过将△BOC绕着点C顺时针旋转60°，把CO、BO、AO转化到△ADO中，就可得到∠ADO=90°，进而得到∠BOC=∠ADC=150°，则有∠BOE=30°，然后解Rt△BEO就可求出BE、OE的长，就可解决问题．

解答：解：∵△ABC是等边三角形，
∴将△BOC绕着点C顺时针旋转60°后，点B与点A重合，
旋转后的三角形记为△ADC，如图．
∴AD=BO=1，∠BOC=∠ADC，CD=OC=

3

，∠OCD=60°，
∴△OCD是等边三角形，
∴OD=OC=

3

，∠ODC=60°，
∴AD²+OD²=1+3=4=AO²，
∴∠ADO=90°，
∴∠BOC=∠ADC=90°+60°=150°．
过点B作BE⊥CO，交CO的延长线于点E，如图所示，
则∠BOE=180°-150°=30°．
在Rt△BEO中，
∵BO=1，∠BOE═30°，
∴BE=

1

2

，OE=

OB2-BE2

=

3

2

．
在Rt△BEC中，
∵BE=

1

2

，CE=OC+OE=

3

+

3

2

=

3 3

2

，
∴BC=

BE2+CE2

=

7

，
∴S_△ABC=

3

4

BC²=

7 3

4

．
∴等边△ABC的面积为

7 3

4

．

点评：本题考查了等边三角形的判定与性质、旋转的性质、30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理及其逆定理等知识，通过旋转将CO、BO、AO转化到同一个三角形中是解决本题的关键．