Question

2．如图，抛物线y=x²-bx+c与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，已知A点坐标为（1，0），抛物线的对称轴为直线x=2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△ABC的面积；
（3）若点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据A和C关于x=2对称即可求得C的坐标，然后把A和C的坐标代入抛物线解析式求得b和C的值，得到抛物线解析式；
（2）首先求得AC的长，然后利用三角形面价公式求解；
（3）直线BC与对称轴x=2的交点就是P，首先利用待定系数法求得BC的解析式，进而求得P的坐标．

解答 解：（1）A（1，0）关于x=2的对称点是（3，0），则C的坐标是（3，0）．
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{9-3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{c=3}\end{array}\right.$，
则抛物线的解析式是y=x²-4x+3；
（2）AC=3-1=2，
则S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•OB=$\frac{1}{2}$×2×3=3；
（3）C是A关于对称轴的对称点，则BC与对称轴的交点就是P．
设BC的解析式是y=kx+d，
则$\left\{\begin{array}{l}{d=3}\\{3k+d=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{d=3}\\{k=-1}\end{array}\right.$，
则直线BC的解析式是y=-x+3．
当x=2时，y=-2+3=1，
则P的坐标是（2，1）．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式，正确理解P的位置是本题的关键．