Question

【题目】如图1，⊙O是△ABC的外接圆，点D是上一动点(不与点A、C重合)，且∠ADB＝∠BAC＝45°.

(1)求证：AC是⊙O的直径；

(2)当点D在运动到使AD＋CD＝5时，则线段BD的长为 ；(直接写出结果)

(3)如图2，把△DBC沿直线BC翻折得到△EBC，连接AE，当点D在运动时，探究线段AE、BD、CD之间的数量关系，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）5；（3）AE2=2BD2+CD2，理由见解析.

【解析】

（1）根据圆周角定理，可得∠BDC=∠BAC=45°，可求出∠ADC=90°根据圆周角定理的推论可得结论；

（2）作AM⊥BD于M,CN⊥BD于N，由等腰直角三角形的性质得AD=DM，CE=DN，证△ABM≌△BCN，可得BN=AM=DM，即可得出BD=BN+DN，从而求得BD的长；

（3）延长DA到点F，使得AF=CD,连接BF，由（2）得BD=（AD+CD）=DF，可得△BDF为等腰直角三角形，则BF=BD，DF2=2BD2，连接CF，证△CBF≌△ABE，可得AE=CF，在Rt△FDC中，CF2=DF2+CD2，即AE2=2BD2+CD2.

（1）证明：∵∠BDC、∠BAC都是 所对的圆周角，∠BAC＝45°

∴∠BDC=∠BAC=45°

∵∠ADB＝45°

∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=90°

∴AC是⊙O的直径；

（2）作AM⊥BD于M,CN⊥BD于N

∵∠BDC=∠ADB =45°

∴△ADM，△CDN为等腰直角三角形

∴DM=AM=AD， DN=CN=CD

∵AC是直径，∠BAC＝45°

∴△ABC为等腰直角三角形

∴∠ABC =∠ABM+∠NBC=90°，AB=BC

∵AM⊥BD，CN⊥BD

∴∠AMB=∠BNC=∠BCN+∠NBC =90°

∴∠ABM=∠BCN

△ABM≌△BCN

∴BN=AM=DM=AD

∵AD＋CD＝5

∴BD=BN+DN=AD+CD=×5=5；

（3）延长DA到点F，使得AF=CD,连接BF

由（2）得BD=（AD+CD）=DF，

∵∠ADB =45°

∴△BDF为等腰直角三角形

∴BF=BD，DF2=2BD2

连接CF，

在△AFB和△CDB中

∴△AFB≌△CDB

∴∠ABF=∠CBD

又∵把△DBC沿直线BC翻折得到△EBC

∴∠CBE=∠CBD，BD=BE

∴∠ABF+∠ABC=∠CBE+∠ABC，即∠CBF=∠ABE，BF=BE

∵AB=CB

∴△CBF≌△ABE

∴AE=CF

∴在Rt△FDC中，CF2=DF2+CD2

即AE2=2BD2+CD2.