【题目】如图,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,延长BC至点D,使DC=CB,延长DA与⊙O的另一个交点为E,连接AC,CE.
(1)求证:∠B=∠D;
(2)若AB=4,BC﹣AC=2,求CE的长.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】
(1)由AB为⊙O的直径,证得AC⊥BC,又由DC=CB,根据线段垂直平分线的性质,可证得AD=AB,即可得:∠B=∠D;
(2)首先设BC=x,则AC=x-2,由在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,可得方程:(x-2)2+x2=42,解此方程即可求得CB的长,继而求得CE的长.
(1)证明:∵AB为⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴AC⊥BC,
又∵DC=CB,
∴AD=AB,
∴∠B=∠D;
(2)解:设BC=x,则AC=x﹣2,
在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,
∴(x﹣2)2+x2=42,
解得:x1=1+,x2=1﹣(舍去),
∵∠B=∠E,∠B=∠D,
∴∠D=∠E,
∴CD=CE,
∵CD=CB,
∴CE=CB=1+.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点M的坐标是(5,4),⊙M与y轴相切于点C,与x轴相交于A,B两点.
(1)请直接写出A,B,C三点的坐标,并求出过这三点的抛物线解析式;
(2)设(1)中抛物线解析式的顶点为E,
求证:直线EA与⊙M相切;
(3)在抛物线的对称轴上,是否存在点P,且点P在x轴的上方,使△PBC是等腰三角形?
如果存在,请求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在矩形中,,,点从点开始沿边向终点以的速度移动,与此同时,点从点开始沿边向终点以的速度移动.如果分别从同时出发,当点运动到点时,两点停止运动,设运动时间为秒.
(1)填空:__________,_________;(用含的代数式表示)
(2)当为何值时,的长度等于?
(3)当为何值时,五边形的面积有最小值?最小值为多少?
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【题目】已知抛物线与轴只有一个交点,以下四个结论:①抛物线的对称轴在轴左侧;②关于的方程有实数根;③;④的最大值为1.其中结论正确的为( )
A.①②③B.③④C.①③D.①③④
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【题目】如图,点A在反比例函数y=图象的第一象限的那一支上,AB垂直于y轴于点B,点C在x轴正半轴上,且OC=2AB,点E在线段AC上,且EC=AC,点D为OB的中点,若△ADE的面积为5,则k的值为( )
A. B. 10 C. D. 12
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【题目】某学校为了了解初一学生防溺水知识掌握情况,随机抽取部分初一学生进行了相关知识测试,测试分为A、B、C、D四个等级进行统计,将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图:
请解答下列问题:
(1)该校参加本次防溺水知识测试共有______人;
(2)补全条形统计图;
(3)若该校初一年级共有学生1000人,试估计该校学生中对防溺水知识的掌握能达到A级的人数.
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【题目】阅读材料:一元二次方程ax2+bx+C=0(a≠0),当△≥0时,设两根为x1,x2,则两根与系数的关系为:x1+x2=;x1x2=.
应用:(1)方程x2﹣2x+1=0的两实数根分别为x1,x2,则x1+x2= ,x1x2= .
(2)若关于x的方程x2﹣2(m+1)x+m2=0的有两个实数根x1,x2,求m的取值范围;
(3)在(2)的条件下,若满足|x1|=x2,求实数m的值.
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【题目】如图1,⊙O是△ABC的外接圆,点D是上一动点(不与点A、C重合),且∠ADB=∠BAC=45°.
(1)求证:AC是⊙O的直径;
(2)当点D在运动到使AD+CD=5时,则线段BD的长为 ;(直接写出结果)
(3)如图2,把△DBC沿直线BC翻折得到△EBC,连接AE,当点D在运动时,探究线段AE、BD、CD之间的数量关系,并说明理由.
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