Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，AE平分∠BAC交BC于E，点O在AB上，以OA为半径的圆，交AB于D，交AC于C，且点E在⊙O上，连接DE，BF切⊙O于点F．
（1）求证：BE=BF；
（2）若⊙O的半径为R，AG=R+1，CE=R-1，求弦AG的长．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：（1）连接OE，证出OE⊥CD，再由切线长定理易得BE=BF；
（2）根据直径所对的圆周角得出∠AGD=90°，从而证得GD∥BC，进而证得OE⊥GD，根据垂径定理得出GH=DH，然后证得四边形GCEH是矩形，从而证得GD=2（R-1）=2R-2，最后根据勾股定理求得R，即可求得AG的长．

解答：（1）证明：连接DG、OE，交于点H．
∵AE平分∠BAC交BC于E，
∴∠CAE=∠DAE，
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
∴∠CAE=∠OEA，
∴AC∥OE，
∴∠OEB=∠C=90°，
∴OE⊥BC，
∴BC是圆的切线，
∴BE=BF；

（2）解：∵AB是直径，
∵∠AGD=90°，
∵∠C=90°，
∴GD∥BC，
∵OE⊥BC，
∴OE⊥GD，
∴GH=DH，
∵∠AGD=90°，∠C=90°，OE⊥BC，
∴四边形GCEH是矩形，
∴GH=CE=R-1，
∴GD=2（R-1）=2R-2，
在直角三角形AGD中，AG²+GD²=AD²，
即（R+1）²+（2R-2）²=（2R）²
解得R₁=5，R₂=1（舍去），
∴AG=R+1=5+1=6；

点评：此题考查的知识点是切线的判定、平行线的判定与性质、矩形的判定和性质以及勾股定理的应用，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形．