Question

1．如图1，△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，点M是AC的中点，将△ABC绕点M逆时针方向旋转α°（0＜α＜180°），得到△A′B′C′，旋转过程中两斜边的交点为N，顺次连接A、A′、C、C′．
（1）求证：在旋转过程中，四边形AA′CC′是矩形；
（2）当△A′B′C′的斜边A′B′刚好过△ABC的直角顶点C时，得到图2，此时，旋转角α的值为60°，若AC=6，则AN的长为2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）如图1，根据旋转的性质得AC=A′C′则AM=CM，A′M=C′M，则利用平行四边形的判定方法得到四边形AA′CC′是平行四边形，然后利用AC=A′C′可判断四边形AA′CC′是矩形；
（2）如图2，根据旋转的性质得∠B′AC′=∠BAC=30°，∠CMC′=α，再利用四边形AA′CC′是矩形得到∠A′CC′=90°，MC=MC′则∠A′C′C=60°，则∠CMC′=60°，即旋转角α的值为60°；利用含30度的直角三角形三边的关系，在Rt△ABC中可计算出BC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AC=2$\sqrt{3}$，AB=2BC=4$\sqrt{3}$，再证明△BCN为等边三角形得到BN=BC=2$\sqrt{3}$，所以AN=AB-BN=2$\sqrt{3}$．

解答 （1）证明：如图1，
∵△ABC绕点M逆时针方向旋转α°（0＜α＜180°），得到△A′B′C′，
∴AC=A′C′，
∵点M是AC的中点，
∴AM=CM，A′M=C′M，
∴四边形AA′CC′是平行四边形，
而AC=A′C′，
∴四边形AA′CC′是矩形；
（2）解：如图2，
∵△ABC绕点M逆时针方向旋转α°（0＜α＜180°），得到△A′B′C′，
∴∠B′AC′=∠BAC=30°，∠CMC′=α，
∵四边形AA′CC′是矩形，
∴∠A′CC′=90°，MC=MC′
∴∠A′C′C=60°，
∴△MCC′为等边三角形，
∴∠CMC′=60°，
即旋转角α的值为60°；
在Rt△ABC中，∵∠BAC=30°，
∴BC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AC=2$\sqrt{3}$，
∴AB=2BC=4$\sqrt{3}$，
∴△MCC′为等边三角形，
∴∠MCC′=60°，
∴∠ACA′=30°，
∴∠BCA′=60°，
而∠B=60°，
∴△BCN为等边三角形，
∴BN=BC=2$\sqrt{3}$，
∴AN=AB-BN=2$\sqrt{3}$．
故答案为60°，2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了含30度的直角三角形三边的关系和矩形的判定方法．