Question

【题目】如图，四边形 ABCD 为正方形，取 AB 中点O ，以 AB 为直径， O 圆心作圆．

（1）如图 1，取CD 的中点 P ，连接 BP 交⊙ O 于Q ，连接 DQ 并延长交 AB 的延长线于 E ，求证： QE BE AE ；

（2）如图 2，连接 CO 并延长交⊙ O 于 M 点，求tanM 的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）连接AQ，AP，根据直角所对的圆周角是直角可得∠AQB=∠AQP=90°，从而证出A、Q、P、D四点共圆，再根据圆周角定理的推论可得∠DAP=∠DQP，利用SAS证出△ADP≌△BCP，推出∠EBQ=∠EQA，即可证出△EBQ∽△EQA，列出比例式变形即可证出结论；

（2）延长OA至N，使ON=OC，连接CN，根据等边对等角可得∠N=∠OCN，然后根据三角形外角的性质即可推出∠M=∠N，设OB=a，则BC=2a，利用勾股定理求出OC，从而求出ON，然后求出tanN即可得出结论．

解：（1）连接AQ，AP，

∵AB 为直径

∴∠AQB=∠AQP=90°

∵四边形 ABCD 为正方形，

∴∠ADC=90°，AB∥CD，∠ADP=∠BCP=90°，AD=BC

∴∠ADC＋∠AQP=180°，∠EBQ=∠DPQ

∴A、Q、P、D四点共圆

∴∠DAP=∠DQP

∴∠EQA =∠EQB＋∠BQA=∠DQP＋90°=∠DAP＋90°=∠DAP＋∠ADP=∠APC

∵DP=CP，∠ADP=∠BCP=90°，AD=BC

∴△ADP≌△BCP

∴∠APD=∠BPC

∴∠APD＋∠APB=∠BPC＋∠APB

∴∠DPQ=∠APC

∴∠EBQ=∠EQA

∵∠E=∠E

∴△EBQ∽△EQA

∴

∴QE BE AE ；

（2）延长OA至N，使ON=OC，连接CN

∴∠N=∠OCN

∴∠COB=∠N＋∠OCN=2∠ONC

∵OB=OM

∴∠M=∠OBM

∴∠COB=∠M＋∠OBM=2∠M

∴∠M=∠N

∵四边形 ABCD 为正方形，点O为AB的中点

∴BC=AB=2OB

设OB=a，则BC=2a

根据勾股定理可得OC=

∴ON=OC=

∴BN=ON＋OB=

∴tanN=

∴tanM=