Question

16．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠BAC．求证：点D在AB的垂直平分线上．

Answer 1

分析 过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CD=DE，然后利用“HL”证明△ADC和△ADE全等，根据全等三角形的对应边相等可得AE=AC，再求出BE=AE，即可得证．

解答 证明：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠BAC，
∴CD=DE，
在△ADC和△ADE中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{CD=DE}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△ADE（HL），
∴AE=AC，
∵AB=2AC，
∴BE=AB-AE=2AC-AE=AE，
∴点D在AB的垂直平分线上

点评 本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．