Question

11．如图，已知等边△ABC的边长为6，折叠△ABC，使得点A恰好与边BC上的点D重合，折痕为EF（点E、F分别在边AB、AC上）
（1）△BED和△CDF相似吗？并说明理由．
（2）若BD：DC=2：1，BE=y，CF=x，求y与x的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）由△ABC是等边三角形，可得∠A=∠B=∠C，然后由折叠的性质可得：∠A=∠EDF，又由三角形外角的性质，可证得∠BED=∠CDF，继而证得△BED和△CDF相似；
（2）由等边△ABC的边长为6，BD：DC=2：1，可求得BD，DC的长，然后由△BED和△CDF相似，根据相似三角形的对应边成比例，求得答案．

解答 解：（1）相似．
理由：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C，
由折叠的性质可得：∠A=∠EDF，
∴∠EDF=∠B，
∵∠EDF+∠CDF=∠B+∠BED，
∴∠CDF=∠BED，
∴△BED∽△CDF；

（2）∵△BED∽△CDF，
∴BD：CF=BE：CD，
∵等边△ABC的边长为6，BD：DC=2：1，
∴BD=4，CD=2，
∵BE=y，CF=x，
∴4：x=y：2，
∴y=$\frac{8}{x}$，
∴y与x的函数关系式为：y=$\frac{8}{x}$．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质、折叠的性质以及等边三角形的性质．注意掌握折叠前后图形的对应关系．