Question

【题目】综合与探究：

如图1，抛物线y＝x2+x+3与x轴交于C、F两点（点C在点F左边），与y轴交于点D，AD＝2，点B坐标为（﹣4，5），点E为AB上一点，且BE＝ED，连接CD，CB，CE．

（1）求点C、D、E的坐标；

（2）如图2，延长ED交x轴于点M，请判断△CEM的形状，并说明理由；

（3）在图2的基础上，将△CEM沿着CE翻折，使点M落在点M'处，请判断点M'是否在此抛物线上，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）点C的坐标是（﹣4，0），点D的坐标是（0，3），点E的坐标是（﹣，5）；（2）△CEM的等腰三角形．理由见解析；（3）点M'不在此抛物线上．理由见解析.

【解析】

（1）结合抛物线解析式求得点C、D的坐标；设EA=a，根据已知条件BE=ED列出方程a2+22=（4-a）2，解方程即可求得a的值，易得点E的坐标；
（2）△CEM的等腰三角形，利用全等三角形（△CBE≌△CDE）的性质得到∠BEC=∠CED，由平行线的性质和等量代换推知∠CED=∠ECM．所以EM=CM，证得△CEM的等腰三角形；
（3）点M'不在此抛物线上．设M（m，0）．由相似三角形（△DOM∽△DAE）的对应边成比例求得m的值，易得CM的长度，根据翻折的性质知EM=EM′．易得四边形CMEM′是菱形．由菱形的对边相等的性质可以求得点M′的坐标，将代入函数解析式进行验证即可．

（1）如图1所示，

∵抛物线y＝x2+ x+3与x轴交于C，当y＝0时，x2+ x+3＝0．

解得x1＝﹣，x2＝﹣4．

∵点C在点F左边，

∴点C的坐标是（﹣4，0）．

当x＝0时，y＝3．

∴点D的坐标是（0，3）．

∵AD＝2，D（0，3），

∴OA＝5．

∵点B坐标为（﹣4，5），

∴BA∥x轴．

在Rt△EAD中，设EA＝a，EB＝4﹣a．

又BE＝ED，

∴DE＝4﹣a．

∴a2+22＝（4﹣a）2，得a＝．

∴点E的坐标是（，5）．

（2）如图2所示，△CEM的等腰三角形．理由如下：

由C（﹣4，0），D（0，3）知，OC＝4，OD＝3．

由勾股定理求得CD＝5．

又∵点B坐标为（﹣4，5），

∴CB＝5，CD＝CB．

又∵BE＝BD，

∴△CBE≌△CDE（SSS）．

∴∠BEC＝∠CED．

又∵BE∥CM，

∴∠BEC＝∠ECM，

∴∠CED＝∠ECM．

∴EM＝CM．

∴△MCE是等腰三角形．

（3）点M'不在此抛物线上．理由如下：

如图3所示，

设点M的坐标是（m，0）．

∵△DOM∽△DAE．

，即

解得m＝．

∵CM＝4+ ＝．

由翻折可知，EM＝EM′．

∵CM＝EM，

∴四边形CMEM′是菱形．

∴EM′＝CM＝．

．

∴点M′的坐标是（，5）．

当m＝时，代入抛物线解析式y＝x2+ x+3，得

．

∴点M′不在此抛物线上．