Question

如图，△ABC是等边三角形，P是三角形外的一点，且∠ABP+∠ACP=180°．求证：PB+PC=PA．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：过点A作AM⊥BP，AN⊥PN，交PC的延长线于点N，可得∠AMB=∠ANC=90°，在AP上截取PE，使得PE=PB，连接BE，易证△ABM≌△ACN，可得AM=AN，即可求得∠APB=60°，进而可以求证△ABE≌△CBP，可得AE=CP，即可解题．

解答：证明：过点A作AM⊥BP，AN⊥PN，交PC的延长线于点N，可得∠AMB=∠ANC=90°，在AP上截取PE，使得PE=PB，连接BE，

∵∠ACN+∠ACP=180°，且∠ABM+∠ACP=180°，
∴∠ACN=∠ABM，
又△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，
在△ABM和△ACN中，

∠AMB=∠ANC ∠ABM=∠ACN AB=AC

，
∴△ABM≌△ACN（AAS），
∴AM=AN，又AM⊥BP，AN⊥PN，
∴∠APB=∠APC，
∵∠ABP+∠ACP=180°，
∴∠BAC+∠BPC=180°，
∴∠BPC=120°，
∴∠APB=∠APC=60°，
∵PB=PE，
∴△PEB是等边三角形
∴PB=BE，∠EBP=60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=60°，
∴∠EBP=∠ABC，
∴∠ABE=∠PBC，
在△ABE和△CBP中，

AC=BC ∠ABE=∠PBC BE=PB

，
∴△ABE≌△CBP，（SAS）
∴AE=CP，
∵AP=AE+PE，
∴AP=PB+PC．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ABM≌△ACN和△ABE≌△CBP是解题的关键．