Question

如图，已知反比例函数y=

m

x

（x＞0）的图象与一次函数y=x+a的图象交于点B（-2a，a+2），直线y=x+a与y轴交于点A．
（1）求a的值与反比例函数的解析式；
（2）观察图象，写出在第一象限内，x取何值时x+a的值大于

m

x

的值；
（3）将直线y=x+a向上平移后与反比例函数的图象相交于点C，且△ABC的面积为8，求平移后的直线的函数关系式．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：

分析：（1）把点B（-2a，a+2）代入一次函数y=x+a中，即可求得a的值，从而得出B（2，1），代入反比例函数y=

m

x

（x＞0）中，即可求得m的值，从而求得解析式；
（2）通过观察图象即可求得x+a的值大于

m

x

的值的x的取值；
（3）设平移后直线解析式为y=x+b，C（n，n+b），根据直线y=x-1，求得OA=1，过C作CD⊥y轴，过B作BE⊥y轴，将C坐标代入反比例解析式得n（n+b）=2，根据S_△ABC=S_梯形BCDE+S_△ABE-S_△ACD=8，即可求得b的值，从而求得平移后的直线的函数关系式．

解答：解：（1）∵一次函数y=x+a的图象经过点B（-2a，a+2），
∴a+2=-2a+a，
解得a=-1，
∴B（2，1），
代入y=

m

x

（x＞0）得1=

m

2

，
解得m=2．
∴反比例函数的解析式为y=

2

x

；

（2）由于B（2，1），通过观察图象可知当x＞2时，x+a的值大于

m

x

的值；

（3）如图，设平移后直线解析式为y=x+b，C（n，n+b），对于直线y=x-1，令x=0求出y=-1，得到OA=1，
过C作CD⊥y轴，过B作BE⊥y轴，将C坐标代入反比例解析式得：n（n+b）=2，
∵S_△ABC=S_梯形BCDE+S_△ABE-S_△ACD=8，
∴

1

2

×（n+2）×（n+b-1）+

1

2

×（1+1）×2-

1

2

×n×（n+b+1）=8，
解得b=7，
∴平移后直线的函数解析式为y=x+7，

点评：此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求函数解析式，三角形、梯形的面积求法，以及坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．